不定積分の問題

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

cos 2 2xdx   

■答

1 2 x+ 1 8 sin4x+C    C は積分定数)

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る.ここを参照.

基本となる関数の積分 より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    C は積分定数) ・・・・・・(1)

cosx dx=sinx+C  ・・・・・・(2)

の公式を用いる.

■解説

cos の加法定理 より

cos( 2x+2x ) =cos2xcos2xsin2xsin2x  ・・・・・・(3)

三角関数の積和の公式の導出を参照)

cos( 2x2x ) =cos2xcos2x+sin2xsin2x  ・・・・・・(4)

(3)+(4)より

cos( 2x+2x )+cos( 2x2x ) = 2cos2xcos2x   

2 cos 2 2x=cos4x+cos0

cos 2 2x = 1 2 ( cos4x+cos0 )

ここで, cos0=1  なので, cos 2 2x= 1 2 ( 1+cos4x ) となる.(三角関数の積和の公式 2 つめの式を参照),半角の公式 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 を用いてもよい.

与式 = 1 2 ( 1+cos4x ) dx   

= 1 2 ( dx+ cos4x dx )   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式を参照)

= 1 2 ( x+ 1 4 sin4x )+C   

(方針の公式 ( 1 ) ( 2 ) にあてはめた)

= 1 2 x+ 1 8 sin4x+C   

 

■確認問題

求まった答え  1 2 x+ 1 8 sin4x+C  を微分し,積分前の式   cos 2 2x に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日