不定積分の問題

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sin 2 2xdx   

■答

1 2 x 1 8 sin4x+C    C は積分定数)

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る.ここを参照.

基本となる関数の積分 より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    C は積分定数) ・・・・・・(1)

cosx dx=sinx+C  ・・・・・・(2)  

の公式を用いる.

■解説

cos の加法定理 より

cos( 2x+2x ) =cos2xcos2xsin2xsin2x  ・・・・・・(3)

三角関数の積和の公式の導出を参照)

cos( 2x2x ) =cos2xcos2x+sin2xsin2x  ・・・・・・(4)

(3)−(4)より

cos( 2x+2x )cos( 2x2x ) = 2sin2xsin2x   

2 sin 2 2x=cos4xcos0   

sin 2 2x= 1 2 ( cos4xcos0 )     

ここで, cos0=1 なので, sin 2 2x= 1 2 ( 1cos4x ) となる.(三角関数の積和の公式3 つ目の式を参照),半角の公式 sin 2 α 2 = 1 cos α 2 を用いてもよい.

与式 = 1 2 ( 1cos4x ) dx  

= 1 2 ( dx cos4x dx )

( 1 2 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式を参照)

= 1 2 ( x 1 4 sin4x )+C   

(方針の公式 (1) (2) にあてはめる)

= 1 2 x 1 8 sin4x+ C    

 

■確認問題

求まった答え 1 2 x 1 8 sin4x+C を微分し,積分前の式 sin 2 2x に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日