不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

cos3xcos5xdx   

■答

1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C    C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分 より

cosxdx=sinx+C    C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

cos の加法定理 より

cos( 3x+5x ) =cos3xcos5xsin3xsin5x  ・・・・・・(3)

三角関数の積和の公式の導出を参照)

cos( 3x5x ) =cos3xcos5x+sin3xsin5x  ・・・・・・(4)

(3)+(4)より

cos( 3x+5x )+cos( 3x5x ) = 2sin3xsin5x   

cos3xcos5x= 1 2 { cos8x+cos( 2x ) }   

ここで, cos( x )=cosx  なので(三角関数の関係式を参照)

cos3xcos5x= 1 2 ( cos8x+cos2x )

となる.(三角関数の積和の公式 2 つ目の式を参照)

与式 = 1 2 ( cos8x+cos2x )dx  

= 1 2 ( cos8x dx+ cos2x dx )   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式を参照)

= 1 2 ( 1 8 sin8x+ 1 2 sin2x )+C   

(方針の公式にあてはめた)

= 1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C   

 

■確認問題

求まった答え   1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C を微分し,積分前の式   cos3xcos5x に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日