不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sin3xsin5xdx   

■答

1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C    C は積分定数)

■ヒント

三角関数の積和の公式を用い,積分公式が使える形に式を変形する.

基本となる関数の積分 より

cosx dx=sinx+C    C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

cos の加法定理 より

cos( 3x+5x ) =cos3xcos5xsin3xsin5x  ・・・・・・(1)

三角関数の積和の公式の導出を参照)

cos( 3x5x ) =cos3xcos5x+sin3xsin5x  ・・・・・・(2)

(1)−(2) より 

cos( 3x+5x )cos( 3x5x ) = 2sin3xsin5x   

sin3xsin5x = 1 2 { cos8xcos( 2x ) }   

ここで, cos( x )=cosx   なので(三角関数の関係式を参照)

sin3xsin5x = 1 2 ( cos8xcos2x )

となる.(三角関数の積和の公式を参照)

与式 = 1 2 ( cos8xcos2x ) dx  

= 1 2 ( cos8x dx cos2x dx )   

( 1 2 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式を参照)

= 1 2 ( 1 8 sin8x 1 2 sin2x )+C    

(方針の公式 にあてはめる)

= 1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C   

 

■確認問題

求まった答え  1 16 sin8x+ 1 4 sin2x+C  を微分し,積分前の式   sin3xsin5x に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日