平面に関連した問題

平面に関連した問題

■問題

3 A( 3,1,0 ) B( 2,0,1 ) C( 0,1,1 ) がある.以下の問に答えよ.

(1) AB AC を求めよ.

(2) BAC = θ とする. cos θ の値を求めよ.

(3) AB に平行で大きさが 1 のベクトル a を求めよ.

(4) 2 A B を通る直線の方程式を求めよ.

(5) AB × AC を求めよ.

(6) 3 A B C を通る平面の方程式を求めよ.

(7) ABC の面積を求めよ.

■答

(1)

AB =( 2,0,1 )( 3,1,0 )=( 1,1,1 )

AC =( 0,1,1 )( 3,1,0 )=( 3,0,1 )

(2)

cosθ= AB · AC | AB || AC | = 1×( 3 )+( 1 )×0+1×1 ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + 1 2 · ( 3 ) 2 + 1 2 = 3+1 3 · 10 = 4 30 = 4 30 30 = 2 30 15

(3)

| AB |= 3

a=± 1 3 ( 1,1,1 ) =±( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) =±( 3 3 , 3 3 , 3 3 )

(4)

x3 1 = y1 1 = z 1     ( x3 1 = y1 1 =z,x+3=y+1=z )

あるいは

x2 1 = y 1 = z1 1     ( x2 1 = y 1 =z1,x+2=y=z1 )

(5)

AB =( 1,1,1 )

AC =( 3,0,1 )

AB × AC =( ( 1 )·11·0,1·( 3 )( 1 )·1,( 1 )·0( 1 )·( 3 ) ) =( 1,2,3 )

(6)

1( x3 )2( y1 )3z =0

x+32y+23z =0

x2y3z+5 =0

x+2y+3z5 =0

■別解

1( x2 )2y3( z1 ) =0

x+22y3z+3 =0

x2y3z+5 =0

x+2y+3z5 =0

(7)

ABC の面積は 1 2 | AB × AC | である.

よって

1 2 ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 = 1 2 1+4+9 = 14 2

 

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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月16日