重積分の問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

 ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^2-2y\right)dxdy}(D:x+y\le 1,x\ge 0,y\ge 0)}$  

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}}$

■ヒント

積分領域 ${\displaystyle D}$ から積分範囲を決定する． ${\displaystyle y}$ について積分した後， ${\displaystyle x}$ で積分する場合，

${\displaystyle y}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to 1-x}$

${\displaystyle x}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to 1}$

となる．

■解説

${\displaystyle {\iint }_D\left(x^2-2y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)\mathrm{dy}\right\}\mathrm{dx}}$  

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dx{\left[x^{2}y-y^2\right]}_0^{1-x}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left(-x^3+2x-1\right)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{4}{x}^4+x^2-x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

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最終更新日： 2013年7月8日