問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の基礎

■問題

積分の順序を変更して次の重積分を求めよ．

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{2a}\left({{\displaystyle \int }}_{\frac{x^2}{a}}^{6a-x}ydy\right)dx}$

■答

${\displaystyle \frac{332}{15}{a}^3}$

■ヒント

与式では$y$ で積分してから$x$ で積分する．この積分を$x$ で積分してから $y$ で積分するように変更する．

■解き方

　

積分順序を変更すると，$x$ で積分するとき，$y$ の値によって積分上限の関数が異なることになるので，以下のように$D_1$ と $D_2$ の2つの領域に分けて積分の計算をする．

${\displaystyle D_1:0\leqq x\leqq \sqrt{ay},0\leqq y\leqq 4a}$

${\displaystyle D_2:0\leqq x\leqq 6a-y,4a\leqq y\leqq 6a}$

となるから

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^{4a}\left({{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{ay}}ydx\right)dy}$${\displaystyle +{{\displaystyle \int }}_{4a}^{6a}\left({{\displaystyle \int }}_0^{6a-y}ydx\right)dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{4a}y}\sqrt{ay}dy+{\displaystyle {\int }_{4a}^{6a}\left(6a-y\right)·y}dy}$

${\displaystyle =\sqrt{a}{\displaystyle {\int }_0^{4a}{y}^{\frac{3}{2}}}dy+{\displaystyle {\int }_{4a}^{6a}\left(6ay-y^2\right)}dy}$

${\displaystyle =\frac{2}{5}\sqrt{a}{\left[y^{\frac{5}{2}}\right]}_0^{4a}+{\left[3a{y}^2-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{4a}^{6a}}$

${\displaystyle =\frac{64}{5}{a}^3+\left(36a^3-\frac{80}{3}{a}^3\right)}$

${\displaystyle =\frac{64}{5}{a}^3+\frac{28}{3}{a}^3}$

${\displaystyle =\frac{332}{15}{a}^3}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月22日

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