変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) e^{- x - y} d x d y$ 　　 $(D : - 2 < x + y < 2, - 2 < x - y < 2)$

■答

$\frac{2}{3} (5 e^{2} - \frac{17}{e^{2}})$

■ヒント

$x + y = u$ ， $x - y = v$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域 $D$ 　

領域 $D^{'}$ 　

$x + y = u$ ， $x - y = v$ とおくと

$x = \frac{1}{2} (u + v)$ ， $y = \frac{1}{2} (u - v)$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

$J (u, v) = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix} | = - \frac{1}{2}$

となる．変数変換によって $(x, y)$ の領域 $D$ は $(u, v)$ の領域 $D^{'}$

$D^{'} : - 2 ≦ u ≦ 2, - 2 ≦ v ≦ 2$ (長方形)

に変換される．よって

(与式) $= \iint_{D^{'}} \frac{1}{2} (u^{2} + v^{2}) e^{- u} \cdot \frac{1}{2} d u d v$

$= \frac{1}{4} \iint_{D^{'}} (u^{2} + v^{2}) e^{- u} d u d v$

$= \frac{1}{4} \int_{- 2}^{2} (\int_{- 2}^{2} e^{- u} (u^{2} + v^{2}) d v) d u$

$= \frac{1}{4} \int_{- 2}^{2} e^{- u} {[u^{2} v + \frac{1}{3} v^{3}]}_{- 2}^{2} d u$

$= \frac{1}{4} \int_{- 2}^{2} e^{- u} {(2 u^{2} + \frac{8}{3}) - (- 2 u^{2} - \frac{8}{3})} d u$

$= \frac{1}{4} \int_{- 2}^{2} e^{- u} (4 u^{2} + \frac{16}{3}) d u$

$= \int_{- 2}^{2} e^{- u} (u^{2} + \frac{4}{3}) d u$

部分積分法を用いて計算をする

$= \int_{- 2}^{2} {(- e^{- u})}^{'} (u^{2} + \frac{4}{3}) d u$

$= {[- e^{- u} (u^{2} + \frac{4}{3})]}_{- 2}^{2}$ $- \int_{- 2}^{2} (- e^{- u}) \cdot 2 u d u$

$= {- e^{- 2} (4 + \frac{4}{3}) + e^{2} (4 + \frac{4}{3})}$ $+ \int_{- 2}^{2} 2 u e^{- u} d u$

最後の項の積分は部分積分法を用いて計算をする

$= \frac{16}{3} e^{2} - \frac{16}{3} e^{- 2} - \int_{- 2}^{2} 2 u {(e^{- u})}^{'} d u$

$= \frac{16}{3} e^{2} - \frac{16}{3} e^{- 2} - {[2 u e^{- u}]}_{- 2}^{2}$ $+ \int_{- 2}^{2} 2 e^{- u} d u$

$= \frac{16}{3} e^{2} - \frac{16}{3} e^{- 2} -$ ${4 e^{- 2} - (- 4 e^{2})}$ $+ \int_{- 2}^{2} 2 e^{- u} d u$

$= \frac{16}{3} e^{2} - \frac{16}{3} e^{- 2} - 4 e^{- 2} - 4 e^{2}$ $+ \int_{- 2}^{2} 2 e^{- u} d u$

$= \frac{4}{3} e^{2} - \frac{28}{3} e^{- 2} + 2 \int_{- 2}^{2} e^{- u} d u$

$= \frac{4}{3} e^{2} - \frac{28}{3} e^{- 2} - 2 {[e^{- u}]}_{- 2}^{2}$

$= \frac{4}{3} e^{2} - \frac{28}{3} e^{- 2} - 2 (e^{- 2} - e^{2})$

$= \frac{10}{3} e^{2} - \frac{34}{3} e^{- 2}$

$= \frac{2}{3} (5 e^{2} - \frac{17}{e^{2}})$

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最終更新日： 2023年10月19日