( D−α ) n y=0 の一般解は
y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 +⋯+ c n−1 x n−1 ) e αx
となる.
( D−α ) n y=0
( D−α ) n [ 1⋅y ]=0
e αx e −αx =1 より
( D−α ) n [ e αx e −αx y ]=0 ・・・・・・(1)
となる. e −αx y=z とおき,(1)に代入すると
( D−α ) n [ e αx z ]=0
となる.微分演算子の基本公式
f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y
より
e αx { ( D+α )−α } n z=0
e αx D n z=0
e αx ≠0 より,両辺を e αx で割ると
D n z=0
D n y=0 の 一般解より
z=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 +⋯+ c n−1 x n−1 ) ・・・・・・(2)
z= e −αx y であるので(2)は
e −αx y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 +⋯+ c n−1 x n−1 )
となる. e −αx ≠0 より,両辺を e −αx で割ると
y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 +⋯+ c n−1 x n−1 ) 1 e −αx
よって
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学生スタッフ作成 最終更新日: 2023年6月9日