${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^{n}y=0}$ の一般解

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^{n}y=0}$ の一般解は

となる．

■導出

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^{n}y=0}$

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^n\left[1\cdot y\right]=0}$  

${\displaystyle e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}=1}$  より

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^n\left[e^{\alpha x}{e}^{-\alpha x}y\right]=0}$  ･･････(1)

となる．${\displaystyle e^{-\alpha x}y=z}$ とおき，(1)に代入すると

${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^n\left[e^{\alpha x}z\right]=0}$  

となる．微分演算子の基本公式

${\displaystyle f\left(D\right)\left[e^{\alpha x}y\right]=e^{\alpha x}f\left(D+\alpha \right)y}$  

より

${\displaystyle e^{\alpha x}{\left\{\left(D+\alpha \right)-\alpha \right\}}^{n}z=0}$  

${\displaystyle e^{\alpha x}{D}^{n}z=0}$  

${\displaystyle e^{\alpha x}\ne 0}$  より，両辺を${\displaystyle e^{\alpha x}}$ で割ると

${\displaystyle D^{n}z=0}$  

${\displaystyle D^{n}y=0}$ の 一般解より

${\displaystyle z=\left(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}\right)}$  ･･････(2)

${\displaystyle z=e^{-\alpha x}y}$  であるので(2)は

となる．${\displaystyle e^{-\alpha x}\ne 0}$ より，両辺を${\displaystyle e^{-\alpha x}}$ で割ると

よって

 

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最終更新日： 2024年5月17日