一般解

(Dα)ny=0 の一般解

( Dα ) n y=0 の一般解は

y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ++ c n1 x n1 ) e αx

となる.

■導出

( Dα ) n y=0

( Dα ) n [ 1y ]=0  

e αx e αx =1  より

( Dα ) n [ e αx e αx y ]=0  ・・・・・・(1)

となる. e αx y=z とおき,(1)に代入すると

( Dα ) n [ e αx z ]=0  

となる.微分演算子の基本公式

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y  

より

e αx { ( D+α )α } n z=0  

e αx D n z=0  

e αx 0  より,両辺を e αx で割ると

D n z=0  

D n y=0 一般解より

z=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ++ c n1 x n1 )  ・・・・・・(2)

z= e αx y  であるので(2)は

e αx y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ++ c n1 x n1 )  

となる. e αx 0 より,両辺を e αx で割ると

y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ++ c n1 x n1 ) 1 e αx  

よって

y=( c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ++ c n1 x n1 ) e αx  

 

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最終更新日: 2023年6月9日