式の導出

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\sin axdx}}$  

オイラーの公式より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\sin axdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\cos ax-i\sin ax\right)\sin axdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\sin ax\cos ax-i{\sin }^{2}ax\right)dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}-i{\displaystyle \int {\sin }^{2}ax}dx}$ ･･････(1)

まず${\displaystyle {\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}}$ を求める．

2倍角の公式より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \sin 2axdx}}$

これを積分すると

${\displaystyle \frac{1}{2}{\displaystyle \int \sin 2axdx}=-\frac{1}{4a}\cos 2ax}$　･･････(2)

次に${\displaystyle i{\displaystyle \int {\sin }^{2}ax}dx}$ を計算する．

半角の公式より

${\displaystyle i{\displaystyle \int {\sin }^{2}ax}dx=\frac{i}{2}{\displaystyle \int \left(1-\cos 2ax\right)dx}}$

これを計算すると

${\displaystyle \frac{i}{2}{\displaystyle \int \left(1-\cos 2ax\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{i}{2}{\displaystyle \int dx}-\frac{i}{2}{\displaystyle \int \cos 2axdx}}$

${\displaystyle =\frac{i}{2}x-\frac{i}{4a}\sin 2ax}$　･･････(3)

(1)，(2)，(3)より 

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\sin axdx}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4a}\cos 2ax-\left(\frac{i}{2}x-\frac{i}{4a}\sin 2ax\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4a}\left(\cos 2ax-i\sin 2ax\right)-\frac{i}{2}x}$

オイラーの公式より

${\displaystyle =-\frac{1}{4a}{e}^{-2iax}-\frac{i}{2}x}$

 

 

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最終更新日： 2023年6月9日