式の導出

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\cos axdx}}$  

オイラーの公式より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\cos axdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\cos ax-i\sin ax\right)\cos axdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left({\cos }^{2}ax-i\sin ax\cos ax\right)dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int {\cos }^{2}axdx}-i{\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}}$　･･････(1)

まず${\displaystyle i{\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}}$ を求める．

2倍角の公式より

${\displaystyle i{\displaystyle \int \sin ax\cos axdx}=\frac{i}{2}{\displaystyle \int \sin 2axdx}}$  

これを積分すると

${\displaystyle \frac{i}{2}{\displaystyle \int \sin 2axdx}=-\frac{i}{4a}\cos 2ax}$  ･･････(2)

次に${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{2}axdx}}$ を計算する．

半角の公式より

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{2}axdx}=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(1+\cos 2ax\right)dx}}$  

これを計算すると

${\displaystyle \frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(1+\cos 2ax\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int dx}+\frac{1}{2}{\displaystyle \int \cos 2axdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4a}\sin 2ax}$　･･････(3)

(1)，(2)，(3)より 

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-iax}\cos axdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4a}\sin 2ax+\frac{i}{4a}\cos 2ax}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{i}{4a}\left(\cos 2ax-i\sin 2ax\right)}$

オイラーの公式より

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{i}{4a}{e}^{-i2ax}}$

 

 

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最終更新日： 2026年9月25日