非同次項がe^(ax)のときの解の導出　xe^{(a-b1)x}の積分の計算

${\displaystyle {\displaystyle \int x{e}^{\left(a-b_1\right)x}dx}}$  の積分

■計算

とおき，部分積分すると

${\displaystyle \int x{\left(\frac{1}{a-b_1}{e}^{\left(a-b_1\right)x}\right)}^{\prime }dx}$

つぎに${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{a-b_1}{e}^{\left(a-b_1\right)x}dx}}$ ･･････(1)　を解く

${\displaystyle \left(a-b_1\right)x=t}$  とおき，置換積分をする

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=a-b_1}$  

${\displaystyle dx=\frac{1}{a-b_1}dt}$  

よって(1)は次のようになる．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{a-b_1}{e}^{\left(a-b_1\right)x}dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{{\left(a-b_1\right)}^2}{e}^{t}dt}}$${\displaystyle =\frac{1}{{\left(a-b_1\right)}^2}{e}^t}$${\displaystyle =\frac{1}{{\left(a-b_1\right)}^2}{e}^{\left(a-b_1\right)x}}$

よって

となる

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年7月23日