定数係数線形非同次微分方程式

定数係数線形非同次微分方程式

n 階線形非同次微分方程式

y ( n ) + A n1 ( x ) y ( n1 ) + + A 1 ( x ) y + A 0 ( x )y = F( x )  ・・・・・・(1)

特殊解 Y 0 ( x ) とする.線形同次微分方程式

y ( n ) + A n1 ( x ) y ( n1 ) + + A 1 ( x ) y + A 0 ( x )y=0

一般解

u( x, c 1 ,, c n )   ( c 1 ,, c n は任意定数)

とする.このとき,微分方程式(1)の一般解

y=u( x, c 1 ,, c n )+ Y 0 ( x )

■線形微分方程式の解法

n 階線形微分方程式

y ( n ) + A n1 ( x ) y ( n1 ) + + A 1 ( x ) y + A 0 ( x )y = F( x )

の一般解は次のようにして求められる.

(1)  y ( n ) + A n 1 ( x ) y ( n 1 ) + + A 1 ( x ) y + A 0 ( x ) y = 0 n 個の解で1次独立 u 1 ( x ),, u n ( x ) を求める.

(2)  y ( n ) + A n 1 ( x ) y ( n 1 ) + + A 1 ( x ) y + A 0 ( x ) y = F ( x ) の特殊解 Y 0 ( x ) を求める.

(3) 求める一般解は y = c 1 u 1 ( x ) + + c n u n ( x ) + Y 0 ( x )  ただし , c 1 , , c n は任意定数である.

 

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 最終更新日: 2023年6月13日