定数係数線形非同次微分方程式

${\displaystyle n}$ 階線形非同次微分方程式

${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\cdots }$${\displaystyle +A_1\left(x\right)y^{\prime }+A_0\left(x\right)y}$${\displaystyle =F\left(x\right)}$  ･･････（1）

の特殊解を ${\displaystyle Y_0\left(x\right)}$ とする．線形同次微分方程式

${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\cdots }$${\displaystyle +A_1\left(x\right)y^{\prime }+A_0\left(x\right)y=0}$

の一般解を

${\displaystyle u\left(x,c_1,\cdot \cdot \cdot ,c_n\right)}$　　(${\displaystyle c_1,\cdots ,c_n}$ は任意定数)

とする．このとき，微分方程式（1）の一般解は

${\displaystyle y=u\left(x,c_1,\cdot \cdot \cdot ,c_n\right)+Y_0\left(x\right)}$

■線形微分方程式の解法

${\displaystyle n}$階線形微分方程式

${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\cdots }$${\displaystyle +A_1\left(x\right)y^{\prime }+A_0\left(x\right)y}$${\displaystyle =F\left(x\right)}$

の一般解は次のようにして求められる．

(1)  ${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\cdots }$${\displaystyle +A_1\left(x\right)y^{\prime }+A_0\left(x\right)y=0}$ の ${\displaystyle n}$個の解で1次独立な ${\displaystyle u_1\left(x\right),\cdot \cdot \cdot ,u_n\left(x\right)}$ を求める．

(2)  ${\displaystyle y^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\cdots }$${\displaystyle +A_1\left(x\right)y^{\prime }+A_0\left(x\right)y}$${\displaystyle =F\left(x\right)}$ の特殊解 ${\displaystyle Y_0\left(x\right)}$ を求める．

(3) 求める一般解は ${\displaystyle y=c_1{u}_1\left(x\right)+\cdot \cdot \cdot +c_n{u}_n\left(x\right)+Y_0\left(x\right)}$ 　ただし ， ${\displaystyle c_1,\cdot \cdot \cdot ,c_n}$ は任意定数である．

 

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　最終更新日： 2023年6月13日