定数係数線形同次微分方程式

1. ${\displaystyle D^{n}y=0}$ の一般解は

   ${\displaystyle y=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}}$

   となる．⇒導出　
2. ${\displaystyle {\left(D-\alpha \right)}^{n}y=0}$ の一般解は

   ${\displaystyle y=\left(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}\right)e^{\alpha x}}$

   となる．⇒導出
3. 2階定数係数同次微分方程式　⇒詳細はこちら

   ${\displaystyle y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0}$

   の一般解は，特性方程式 ${\displaystyle t^2+at+b=0}$ の解が

   (1)実数解 ${\displaystyle \alpha ,\beta \left(\alpha \ne \beta \right)}$ の場合

   ${\displaystyle y=c_1{e}^{\alpha x}+c_2{e}^{\beta x}}$

   (2)実数解 ${\displaystyle \alpha }$ (2重解)の場合

   ${\displaystyle y=\left(c_1+c_{2}x\right)e^{\alpha x}}$

   (3)虚数解 ${\displaystyle \lambda \pm \mu i}$ の場合   

   ${\displaystyle y=c_1{e}^{\lambda x}sin\mu x+c_2{e}^{\lambda x}cos\mu x}$

 

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最終更新日： 2024年5月17日