関数が減少する場合の微分係数の値

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$  が減少している区間では，微分係数${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$  は

$f^{\prime }\left(x\right)<0$  

となる．

■証明

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$  が減少している区間の任意の２つの数${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ において，${\displaystyle x_1<x_2}$  のとき

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

であるので

${\displaystyle x_2-x_1>0}$  ，${\displaystyle f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0}$

となる．

よって，x  の値が${\displaystyle x_1}$から${\displaystyle x_2}$ に変化したときの平均変化率の値は

${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<0}$

となる．

${\displaystyle x_2}$ を${\displaystyle x_1}$ に限りなく近づけると，平均変化率の値は，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$  の${\displaystyle x_1}$ における微分係数となる．式で表すと

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_1\right)=\underset{x_2\to x_1}{lim}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$  

となる．

一方，${\displaystyle x_2}$ を${\displaystyle x_1}$ に限りなく近づけても，${\displaystyle x_1<x_2}$ ならば${\displaystyle f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)}$  の関係は保たれる．

よって

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_1\right)<0}$  

が成り立つ．関数が減少している区間の任意の数${\displaystyle x_1}$ をx で置き換えてもよい．

したがって，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$  が減少している区間では，微分係数${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$  は

$f^{\prime }\left(x\right)<0$  

が成り立つ．

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最終更新日： 2023年5月30日