対角化可能であるための条件　その1

定理

${\displaystyle n}$次正方行列${\displaystyle A}$において，1次独立な ${\displaystyle n}$個の固有ベクトルが存在するとき， ${\displaystyle A}$は対角化可能である．

■証明

${\displaystyle A}$ の1次独立な${\displaystyle n}$の固有ベクトルを，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_n}$ とする．固有値・固有ベクトルの定義より

${\displaystyle A{x}_i={\lambda }_i{x}_i}$ 　（${\displaystyle {\lambda }_i}$ は${\displaystyle x_i}$ に対応する固有値，${\displaystyle i=1,2,3,\cdots ,n}$）･･････(1)

の関係がある．

${\displaystyle n}$ 次正方行列${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}A{x}_1& A{x}_2& \cdots & A{x}_n\end{array}\right)}$を2通り方法で表すことにする．

●方法1

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}A{x}_1& A{x}_2& \cdots & A{x}_n\end{array}\right)}$${\displaystyle =A\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)}$

${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)}$ とおくと

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}A{x}_1& A{x}_2& \cdots & A{x}_n\end{array}\right)=AP}$　･･････(2)

となる．

●方法2

(1)より

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}A{x}_1& A{x}_2& \cdots & A{x}_n\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1{x}_1& {\lambda }_2{x}_2& \cdots & {\lambda }_n{x}_n\end{array}\right)}$

${\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}A{x}_1& A{x}_2& \cdots & A{x}_n\end{array}\right)=PD}$ 　･･････(3)

となる．

---

(2)，(3)より

${\displaystyle AP=PD}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_n}$が1次独立であることより，${\displaystyle P}$ は，この定理より， ${\displaystyle \left|P\right|\ne 0}$となり，逆行列が存在する．(4)の両辺に左から ${\displaystyle P}$ の逆行列${\displaystyle P^{-1}}$ をかけると

${\displaystyle P^{-1}AP=P^{-1}PD}$

${\displaystyle P^{-1}AP=D}$

となる．したがって，${\displaystyle A}$は${\displaystyle P}$により対角化が可能である．

　

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最終更新日：2022年7月19日