対角化可能であるための条件　その2

定理

${\displaystyle n}$次正方行列${\displaystyle A}$において，${\displaystyle n}$個の相異なる固有値が存在するとき， ${\displaystyle A}$は対角化可能である．

■証明

${\displaystyle n}$次正方行列${\displaystyle A}$ の${\displaystyle n}$ 個の相異なる固有値を，${\displaystyle {\lambda }_1}$，${\displaystyle {\lambda }_2}$，${\displaystyle {\lambda }_3}$，･･･，${\displaystyle {\lambda }_n}$とし，各固有値に対応する${\displaystyle n}$の固有ベクトルを，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_n}$ とする．固有値・固有ベクトルの定義より

${\displaystyle A{x}_i={\lambda }_i{x}_i}$ 　（${\displaystyle x_i}$ は${\displaystyle {\lambda }_i}$ に対応する固有値，${\displaystyle i=1,2,3,\cdots ,n}$）･･････(1)

の関係がある．

数学的帰納法により証明する．

${\displaystyle k=1}$のとき，すなわち，1個の固有ベクトル${\displaystyle x_1}$のみのとき，

${\displaystyle {c^{\prime }}_1{x}_1=0}$ ･･････(2)

とおく．

${\displaystyle x_1}$は固有ベクトルであることより，${\displaystyle x_1\ne 0}$である．よって，(1)が成り立つためには，

${\displaystyle {c^{\prime }}_1=0}$

となり，

1個の固有ベクトル${\displaystyle x_1}$は1次独立ある．　･･････(3)

${\displaystyle k=m<n}$のとき，すなわち，${\displaystyle m}$ の固有ベクトル，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_m}$ のとき，

これらの固有ベクトルの組が1次独立であると仮定する．　･･････(4)

${\displaystyle k=m+1}$ のとき，すなわち，${\displaystyle m+1}$ の固有ベクトル，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_m}$，${\displaystyle x_{m+1}}$ のとき

${\displaystyle c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3+\cdots +c_m{x}_m}$${\displaystyle +c_{m+1}{x}_{m+1}=0}$ 　･･････(5)

とおく．(5)の両辺に左から ${\displaystyle A}$ をかけると

${\displaystyle c_{1}A{x}_1+c_{2}A{x}_2+c_{3}A{x}_3+\cdots }$${\displaystyle +c_{m}A{x}_m}$${\displaystyle +c_{m+1}A{x}_{m+1}=A0}$

となり，(1)より

${\displaystyle c_1{\lambda }_1{x}_1+c_2{\lambda }_2{x}_2+c_3{\lambda }_2{x}_3+\cdots }$${\displaystyle +c_m{\lambda }_m{x}_m}$${\displaystyle +c_{m+1}{\lambda }_{m+1}{x}_{m+1}=0}$ 　･･････(6)

が得られる．次に，(5)の両辺に ${\displaystyle {\lambda }_{m+1}}$をかけると

${\displaystyle c_1{\lambda }_{m+1}{x}_1+c_2{\lambda }_{m+1}{x}_2+c_3{\lambda }_{m+1}{x}_3}$${\displaystyle +\cdots +c_m{\lambda }_{m+1}{x}_m}$${\displaystyle +c_{m+1}{\lambda }_{m+1}{x}_{m+1}=0}$ 　･･････(7)

(7)−(6)より

${\displaystyle c_1\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_1\right)x_1+c_2\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_2\right)x_2}$${\displaystyle +c_3\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_3\right)x_3}$${\displaystyle +\cdots +c_m\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_m\right)x_m=0}$ 　･･････(8)

が得られる．${\displaystyle m}$ 個の固有ベクトル，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_m}$ の組が1次独立であるので，(8)が成り立つためには

${\displaystyle c_1\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_1\right)=c_2\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_2\right)}$${\displaystyle =c_3\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_3\right)}$${\displaystyle =\cdots =c_m\left({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_m\right)=0}$

でなければならない．${\displaystyle n}$ 個の固有値は相異なるので，${\displaystyle {\lambda }_{m+1}-{\lambda }_i\ne 0}$ （${\displaystyle i=1,2,3,\cdots ,m}$ ）である．よって

${\displaystyle c_1=c_2=c_3=\cdots =c_m=0}$ 　･･････(9)

となる．(9)を(5)に代入すると

${\displaystyle c_{m+1}{x}_{m+1}=0}$ 　･･････(10)

となる．${\displaystyle x_{m+1}\ne 0}$ より

${\displaystyle c_{m+1}=0}$ 　･･････(11)

となる．(9),(11)より，(5)が成り立つためには，(5)の左辺の ${\displaystyle x_i}$ （${\displaystyle i=1,2,3,\cdots ,m,m+1}$ ）の係数がすべてゼロになる．すなわち

(4)の仮定においては，${\displaystyle m+1}$ の固有ベクトル，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_m}$，${\displaystyle x_{m+1}}$の組は1次独立となる．

以上より，${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle n}$ 個の相異なる固有値が存在するとき，${\displaystyle m}$ の固有ベクトル，${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$ ， ${\displaystyle x_3}$，･･･，${\displaystyle x_k}$ の組は1次独立である．ただし，${\displaystyle k=1,2,3,\cdots ,n}$である．

すなわち，${\displaystyle n}$次正方行列${\displaystyle A}$において，${\displaystyle n}$個の相異なる固有値が存在するとき，1次独立な ${\displaystyle n}$個の固有ベクトルが存在する．

したがって，この定理より ${\displaystyle A}$は対角化可能である．

　

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最終更新日：2022年7月19日