実対称行列の対角化

■定理

実対称行列 ${\displaystyle A}$ は適当な直交行列${\displaystyle P}$により対角化可能である.

${\displaystyle {}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)}$

■証明

${\displaystyle n}$ 次正方行列は，適当な直交行列 ${\displaystyle P}$ により三角化できる(定理)ことより

${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & *\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_n\end{array}\right)}$　･･････(1)

が成り立つ．

${\displaystyle {}^t\left(P^{-1}AP\right)={}^t\left(AP\right){}^t\left(P^{-1}\right)}$${\displaystyle ={}^{t}P{}^{t}AP}$${\displaystyle ={}^{t}PAP}$

(∵${\displaystyle P}$ が直交行列なので， ${\displaystyle P^{-1}={}^{t}P}$ ．${\displaystyle A}$が実対称行列なので， ${\displaystyle {}^{t}A=A}$${\displaystyle =P^{-1}AP}$ )

より，${\displaystyle P^{-1}AP}$ は実対称行列である.したがって，(1)は

${\displaystyle {}^{t}P{}^{t}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & 0\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_n\end{array}\right)}$

となる．

　

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最終更新日：2022年9月3日