実対称行列の対角化

■定理

実対称行列 ${\displaystyle A}$ は適当な直交行列 ${\displaystyle P}$ により対角化可能である.

${\displaystyle {}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\end{array}\right)}$

■証明

${\displaystyle n}$ 次正方行列は，適当な直交行列 ${\displaystyle P}$ により三角化できる(定理)ことより

${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & *\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_n\end{array}\right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

${\displaystyle {}^t\left(P^{-1}AP\right)={}^t\left(AP\right){}^t\left(P^{-1}\right)}$ ${\displaystyle ={}^{t}P{}^{t}AP}$ ${\displaystyle ={}^{t}PAP}$ ${\displaystyle =P^{-1}AP}$

(∵ ${\displaystyle P}$ が直交行列なので， ${\displaystyle P^{-1}={}^{t}P}$ ． ${\displaystyle A}$ が実対称行列なので， ${\displaystyle {}^{t}A=A}$ )

より， ${\displaystyle P^{-1}AP}$ は実対称行列である.

すなわち， ${\displaystyle P^{-1}AP}$ は上三角行列で実対称行列である．この両方を満たすのは対角行列である．なぜなら， ${\displaystyle i\ne j}$ で上三角の条件から ${\displaystyle i>j}$ なら ${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分が $0$ 、対称性から ${\displaystyle \left(j,i\right)}$ 成分も0になるので，結局，すべての非対角成分が$0$になる．

したがって，(1)は

${\displaystyle P^{-1}AP=}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & 0\\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & {\lambda }_n\end{array}\right)}$

となる．

　

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最終更新日：2026年6月30日