行列の計算則   分配則について(2)

${\displaystyle A}$と ${\displaystyle B}$が ${\displaystyle l\times m}$ 行列， ${\displaystyle C}$が ${\displaystyle m\times n}$行列ならば

${\displaystyle \left(A+B\right)C=AC+BC}$

■証明

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{l1}& a_{l2}& \cdots & a_{lm}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{l1}& b_{l2}& \cdots & b_{lm}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mn}\end{array}\right)}$

とし，

${\displaystyle A+B=D=\left(d_{ij}\right)}$ ，${\displaystyle d_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

とする．

${\displaystyle \left(A+B\right)C}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分${\displaystyle e_{ij}}$ は，行列の積の定義より

${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_{kj}}{c}_{ik}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m\left(a_{kj}+b_{kj}\right)c_{ik}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m\left(a_{kj}{c}_{ik}+b_{kj}{c}_{ik}\right)}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{kj}{c}_{ik}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m{b}_{kj}{c}_{ik}}}}$

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{kj}{c}_{ik}}}$ は${\displaystyle AC}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分，${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^m{b}_{kj}{c}_{ik}}}$ は${\displaystyle BC}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分である．

したがって，行列の和の定義より

${\displaystyle \left(A+B\right)C=AC+BC}$

が成り立つ．

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最終更新日： 2022年8月27日