行列式の計算則

行列式の計算則

行列式の1つの行(または列)の各成分に一定の数 c をかけて他の行(または列)に加えても,行列式の値は変わらない. 

| a 11 a 12 a 1n a s1 a s2 a sn a t1 +c a s1 a t2 +c a s2 a tn +c a sn a n1 a n2 a nn | =| a 11 a 12 a 1n a s1 a s2 a sn a t1 a t2 a tn a n1 a n2 a nn |

■証明

| a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a t 1 + c a s 1 a t 2 + c a s 2 a t n + c a s n a n 1 a n 2 a n n |

行列式が分かれる性質より

= | a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a t 1 a t 2 a t n a n 1 a n 2 a n n | + | c a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a s 1 a s 2 a s n a n 1 a n 2 a n n |

定数倍の性質より

= | a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a t 1 a t 2 a t n a n 1 a n 2 a n n | + c | a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a s 1 a s 2 a s n a n 1 a n 2 a n n |

同じ行があるときの性質より

= | a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a t 1 a t 2 a t n a n 1 a n 2 a n n | + 0

= | a 11 a 12 a 1 n a s 1 a s 2 a s n a t 1 a t 2 a t n a n 1 a n 2 a n n |

■具体例

A = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4

例1

第3行に,第1行×2を加えた場合(この操作を,KIT数学ナビゲーションでは,「3行+1行×2」と記載することにする.

1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3+1×2 4+2×2 5+3×2 1+4×2 2+5×2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4

例2

第3列に,第1列×3を加えた場合(この操作を,KIT数学ナビゲーションでは,「3列+1列×3」と記載することにする.

1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 = 1 2 3+1×3 4 5 2 3 4+2×3 5 1 3 4 5+3×3 1 2 4 5 1+4×3 2 3 5 1 2+5×3 3 4

 

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最終更新日: 2023年2月8日