行列式の計算則

行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数 ${\displaystyle c}$をかけて他の行（または列）に加えても，行列式の値は変わらない． 

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}+c{a}_{s1}& a_{t2}+c{a}_{s2}& \cdots & a_{tn}+c{a}_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

■証明

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}+c{a}_{s1}& a_{t2}+c{a}_{s2}& \cdots & a_{tn}+c{a}_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

行列式が分かれる性質より

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle +\left|c\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

定数倍の性質より

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle +c\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

同じ行があるときの性質より

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+0}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& a_{s2}& \cdots & a_{sn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

■具体例

${\displaystyle \left|A\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 4& 5& 1& 2& 3\\ 5& 1& 2& 3& 4\end{array}\right|}$

例1

第3行に，第1行×2を加えた場合（この操作を，KIT数学ナビゲーションでは，「3行+1行×2」と記載することにする．

例2

第3列に，第1列×3を加えた場合（この操作を，KIT数学ナビゲーションでは，「3列+1列×3」と記載することにする．

 

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最終更新日： 2023年2月8日