同じ行があるときの性質の証明

行列${\displaystyle A}$ は${\displaystyle s}$ 行と${\displaystyle t}$ 行が一致しているとし，行列${\displaystyle A}$ の${\displaystyle s}$ 行と${\displaystyle t}$ 行を入れ替えた行列を${\displaystyle B}$とする．

行を入れ替えた時の行列式の性質より

${\displaystyle \left|B\right|=-\left|A\right|}$…(1)

一方，${\displaystyle s}$ 行と${\displaystyle t}$ 行が一致していることより

${\displaystyle A=B}$

すなわち

${\displaystyle \left|A\right|=\left|B\right|}$ …(2)

となる．

(1)，(2)より

${\displaystyle \left|A\right|=-\left|A\right|}$

となる．両辺に${\displaystyle \left|A\right|}$を加える．

${\displaystyle \left|A\right|+\left|A\right|=-\left|A\right|+\left|A\right|}$

${\displaystyle 2\left|A\right|=0}$

したがって

${\displaystyle \left|A\right|=0}$

転置の性質${\displaystyle \left|A\right|=\left|{}^{t}A\right|}$ より2つの列が一致するときも，その行列式の値が0になるといえる．

 

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最終更新日： 2022年6月18日