行列の積の行列式の定理の証明（n次の正方行列）

　n次の正方行列

$A = (\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{array} & \begin{array}{l} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ a_{3 n} \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{array} \end{matrix}),$ $B = (\begin{matrix} \begin{array}{l} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{array} & \begin{array}{l} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} b_{1 n} \\ b_{2 n} \\ b_{3 n} \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{array} \end{matrix})$

の行列の積を考える．

$b_{1} = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \end{matrix})$

$b_{2} = (\begin{matrix} b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \end{matrix})$

$b_{3} = (\begin{matrix} b_{31} & b_{32} & \dots & b_{3 n} \end{matrix})$

$⋮$

$b_{n} = (\begin{matrix} b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix})$

とおくと

$B = (\begin{matrix} b_{1} \\ \begin{array}{l} b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array} \end{matrix})$

と表わせる．

また

$A B = (\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{array} & \begin{array}{l} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ a_{3 n} \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{array} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \begin{array}{l} b_{3} \\ ⋮ \end{array} \\ b_{n} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} + a_{13} b_{3} + \dots + a_{1 n} b_{n} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} + a_{23} b_{3} + \dots + a_{2 n} b_{n} \end{array} \\ a_{31} b_{1} + a_{32} b_{2} + a_{33} b_{3} + \dots + a_{3 n} b_{n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} b_{1} + a_{n 2} b_{2} + a_{n 3} b_{3} + \dots + a_{n n} b_{n} \end{matrix})$

と表わせる．

次に行列 $A B$ の行列式 $| A B |$ を以下のように変形する．

$|A B|$ $= |\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} + a_{13} b_{3} + \dots + a_{1 n} b_{n} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} + a_{23} b_{3} + \dots + a_{2 n} b_{n} \end{array} \\ a_{31} b_{1} + a_{32} b_{2} + a_{33} b_{3} + \dots + a_{3 n} b_{n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} b_{1} + a_{n 2} b_{2} + a_{n 3} b_{3} + \dots + a_{n n} b_{n} \end{matrix}|$

$= |\begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{1} \\ a_{31} b_{1} \\ ⋮ \\ a_{n 1} b_{1} \end{matrix}| + |\begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{1} \\ a_{31} b_{1} \\ ⋮ \\ a_{n 2} b_{2} \end{matrix}| + \dots + |\begin{matrix} a_{11} b_{1} \\ a_{21} b_{1} \\ a_{31} b_{1} \\ ⋮ \\ a_{n n} b_{n} \end{matrix}| + \dots \dots \dots$ $+ |\begin{matrix} a_{1 n} b_{n} \\ a_{2 n} b_{n} \\ a_{3 (n - 1)} b_{n - 1} \\ ⋮ \\ a_{n 1} b_{1} \end{matrix}| + |\begin{matrix} a_{11} b_{n} \\ a_{2 n} b_{n} \\ a_{3 (n - 1)} b_{n - 1} \\ ⋮ \\ a_{n 2} b_{2} \end{matrix}| + \dots$ $+ |\begin{matrix} a_{11} b_{n} \\ a_{21} b_{n} \\ a_{3 (n - 1)} b_{n - 1} \\ ⋮ \\ a_{n n} b_{n} \end{matrix}| + |\begin{matrix} a_{1 n} b_{n} \\ a_{2 n} b_{n} \\ a_{3 n} b_{n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} b_{1} \end{matrix}| + |\begin{matrix} a_{11} b_{n} \\ a_{21} b_{n} \\ a_{3 n} b_{n} \\ ⋮ \\ a_{n 2} b_{2} \end{matrix}| + \dots + |\begin{matrix} a_{11} b_{n} \\ a_{21} b_{n} \\ a_{3 n} b_{n} \\ ⋮ \\ a_{n n} b_{n} \end{matrix}|$

$= a_{11} a_{22} a_{33} a_{n n} |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}|$ $+ a_{12} a_{21} a_{33} a_{n n} |\begin{matrix} b_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}| + \dots \dots \dots$ $+ a_{1 n} a_{2 (n - 1)} a_{3 (n - 2)} a_{n 1} |\begin{matrix} b_{n} \\ b_{n - 1} \\ b_{n - 2} \\ ⋮ \\ b_{1} \end{matrix}|$

$= a_{11} a_{22} a_{33} \dots a_{n n} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{matrix}) |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}|$ $+ a_{12} a_{21} a_{33} \dots a_{n n} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 2 & 1 & 3 & \dots & n \end{matrix}) |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}| \dots \dots \dots +$ $+ a_{1 n} a_{2 (n - 1)} a_{3 (n - 2)} \dots a_{n 1} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ n & n - 1 & n - 2 & \dots & 1 \end{matrix}) |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}|$

$= \{a_{11} a_{22} a_{33} \dots a_{n n} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{matrix})$ $+ a_{12} a_{21} a_{33} \dots a_{n n} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 2 & 1 & 3 & \dots & n \end{matrix}) \dots \dots \dots$ $+ a_{1 n} a_{2 (n - 1)} a_{3 (n - 2)} \dots a_{n 1} \cdot sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ n & n - 1 & n - 2 & \dots & 1 \end{matrix})\} |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}|$

$= \{\sum_{3} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & i_{13} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} a_{3 i_{3}} \dots a_{n i_{n}}\} |\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}|$

$= | A | | B |$

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最終更新日： 2022年6月19日