行列の積の行列式の定理の証明(n次の正方行列)

行列の積の行列式の定理の証明(n次の正方行列)

 n次の正方行列

A=( a 11 a 21 a 31 a n1 a 12 a 22 a 32 a n2 a 1n a 2n a 3n a nn ), B=( b 11 b 21 b 31 a n1 b 12 b 22 b 32 a n2 b 1n b 2n b 3n a nn )

行列の積を考える.

b 1 =( b 11 b 12 b 1n )

b 2 =( b 21 b 22 b 2n )

b 3 =( b 31 b 32 b 3n )

b n =( b n1 b n2 b nn )

とおくと

B=( b 1 b 2 b 3 b n )

と表わせる.

また

AB=( a 11 a 21 a 31 a n1 a 12 a 22 a 32 a n2 a 1n a 2n a 3n a nn )( b 1 b 2 b 3 b n )

=( a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b 3 ++ a 1n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 23 b 3 ++ a 2n b n a 31 b 1 + a 32 b 2 + a 33 b 3 ++ a 3n b n a n1 b 1 + a n2 b 2 + a n3 b 3 ++ a nn b n )

と表わせる.

次に行列 AB 行列式 | AB | を以下のように変形する.

AB = a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b 3 ++ a 1n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 23 b 3 ++ a 2n b n a 31 b 1 + a 32 b 2 + a 33 b 3 ++ a 3n b n a n1 b 1 + a n2 b 2 + a n3 b 3 ++ a nn b n

= a 11 b 1 a 21 b 1 a 31 b 1 a n1 b 1 + a 11 b 1 a 21 b 1 a 31 b 1 a n2 b 2 ++ a 11 b 1 a 21 b 1 a 31 b 1 a nn b n + + a 1n b n a 2n b n a 3 n1 b n1 a n1 b 1 + a 11 b n a 2n b n a 3 n1 b n1 a n2 b 2 + + a 11 b n a 21 b n a 3 n1 b n1 a nn b n + a 1n b n a 2n b n a 3n b n a n1 b 1 + a 11 b n a 21 b n a 3n b n a n2 b 2 ++ a 11 b n a 21 b n a 3n b n a nn b n

= a 11 a 22 a 33 a nn b 1 b 2 b 3 b n + a 12 a 21 a 33 a nn b 2 b 1 b 3 b n + + a 1n a 2 n1 a 3 n2 a n1 b n b n1 b n2 b 1

= a 11 a 22 a 33 a nn ·sgn 1 2 3 n 1 2 3 n b 1 b 2 b 3 b n + a 12 a 21 a 33 a nn ·sgn 1 2 3 n 2 1 3 n b 1 b 2 b 3 b n + + a 1n a 2 n1 a 3 n2 a n1 ·sgn 1 2 3 n n n1 n2 1 b 1 b 2 b 3 b n

= a 11 a 22 a 33 a nn ·sgn 1 2 3 n 1 2 3 n + a 12 a 21 a 33 a nn ·sgn 1 2 3 n 2 1 3 n + a 1n a 2 n1 a 3 n2 a n1 ·sgn 1 2 3 n n n1 n2 1 b 1 b 2 b 3 b n

= 3 sgn 1 2 3 n i 1 i 2 i 13 i n a 1 i 1 a 2 i 2 a 3 i 3 a n i n b 1 b 2 b 3 b n

=| A || B |

 

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最終更新日: 2022年6月19日