3次元の回転行列（y軸まわり）

点 ${\displaystyle \text{P}\left(x,y,z\right)}$ を ${\displaystyle y}$ 軸のまわりに ${\displaystyle \theta }$ 回転して点 ${\displaystyle \text{Q}\left(u,v,w\right)}$ に移す一次変換の表現行列 ${\displaystyle R_y(\theta )}$ は

${\displaystyle R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)}$

である． ${\displaystyle y}$軸の正方向に右ねじが進むときの回転方向を正とし，この方向の回転角を${\displaystyle \theta }$とする．

■導出

${\displaystyle y}$ 軸のまわりに ${\displaystyle \theta }$ 回転する一次変換を ${\displaystyle f}$ とする．

${\displaystyle 3}$ 次元ベクトル空間の基本ベクトルを

${\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$

とすると

${\displaystyle f\left(e_1\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ 0\\ -\sin \theta \end{array}\right)}$

${\displaystyle f\left(e_2\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle f\left(e_3\right)=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ 0\\ \cos \theta \end{array}\right)}$

原点を$\text{O}$とすると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=x{e}_1+y{e}_2+z{e}_3}$

よって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=f\left(\overrightarrow{\text{OP}}\right)}$

${\displaystyle =f\left(x{e}_1+y{e}_2+z{e}_3\right)}$

${\displaystyle =f\left(x{e}_1\right)+f\left(y{e}_2\right)+f\left(z{e}_3\right)}$

${\displaystyle =xf\left(e_1\right)+yf\left(e_2\right)+zf\left(e_3\right)}$

${\displaystyle =x\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ 0\\ -\sin \theta \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ 0\\ \cos \theta \end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),f\left(e_3\right)\right)\overrightarrow{\text{OP}}}$

したがって，表現行列は

${\displaystyle R_y(\theta )=\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),f\left(e_3\right)\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)}$

となる．

ドラッグで視点を回転できます。

視点のスライダー

el（elevation：仰角）

視点の高さを表す角度です。el = 0 のとき xy 平面と同じ高さから見て、el = π/2 のとき真上（z軸正方向）から見下ろします。

az（azimuth：方位角）

z軸のまわりに視点を水平に回す角度です。el = 0 のとき、az = 0 で y軸正方向から、az = π/2 で x軸正方向から見ることになります。

bank（バンク角）

視線の方向を軸として、画面を回転させる角度です。カメラを傾けることに当たり、見る位置は変わりません。

 

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最終更新日： 2026年10月23日