3次元の回転行列（z軸まわり）

点 $P (x, y, z)$ を $z$ 軸のまわりに $θ$ 回転して点 $Q (u, v, w)$ に移す一次変換の表現行列 $R_{z} (θ)$ は

$R_{z} (θ) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

である． $z$ 軸の正方向に右ねじが進むときの回転方向を正とし，この方向の回転角を $θ$ とする．

■導出

$z$ 軸のまわりに $θ$ 回転する一次変換を $f$ とする．

$3$ 次元ベクトル空間の基本ベクトルを

$e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ， $e_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

とすると

$f (e_{1}) = (\begin{matrix} \cos θ \\ \sin θ \\ 0 \end{matrix})$

$f (e_{2}) = (\begin{matrix} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{matrix})$

$f (e_{3}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

原点を $O$ とすると

$\vec{OP} = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}$

よって

$\vec{OQ} = f (\vec{OP})$

$= f (x e_{1} + y e_{2} + z e_{3})$

$= f (x e_{1}) + f (y e_{2}) + f (z e_{3})$

$= x f (e_{1}) + y f (e_{2}) + z f (e_{3})$

$= x (\begin{matrix} \cos θ \\ \sin θ \\ 0 \end{matrix}) + y (\begin{matrix} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{matrix}) + z (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$

$= (f (e_{1}), f (e_{2}), f (e_{3})) \vec{OP}$

したがって，表現行列は

$R_{y} (θ) = (f (e_{1}), f (e_{2}), f (e_{3}))$ $= (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

となる．

ドラッグで視点を回転できます。

視点のスライダー

el（elevation：仰角）: 視点の高さを表す角度です。el = 0 のとき xy 平面と同じ高さから見て、el = π/2 のとき真上（z軸正方向）から見下ろします。
az（azimuth：方位角）: z軸のまわりに視点を水平に回す角度です。el = 0 のとき、az = 0 で y軸正方向から、az = π/2 で x軸正方向から見ることになります。
bank（バンク角）: 視線の方向を軸として、画面を回転させる角度です。カメラを傾けることに当たり、見る位置は変わりません。

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最終更新日： 2026年10月23日