VX+Y=VX+2CX,Y+VY

2つの確率変数 X Y について

VX+Y=VX+2CX,Y+VY ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

まず

μ=E X+Y  ・・・・・・(2)

とおく.

分散の定義より

V X+Y =E X+Y μ 2

=E X+Y μ 2

=E X+Y 2 2μ X+Y + μ 2

=E X 2 +2XY+ Y 2 2μX2μY+ μ 2

=E X 2 +E 2XY +E Y 2 +E 2μX +E 2μY +E μ 2

∵  E X+Y =E X +E Y  (ここを参照)

=E X 2 +2E XY +E Y 2 2μE X 2μE Y + μ 2

∵  E aX =aE X  (ここを参照)

=E X 2 +2E XY +E Y 2 2μ E X +E Y + μ 2

=E X 2 +2E XY +E Y 2 2μ E X+Y + μ 2

∵ (2)

=E X 2 +2E XY +E Y 2 E X+Y 2

=E X 2 +2E XY +E Y 2 E X +E Y 2

=E X 2 +2E XY +E Y 2 E X 2 2E X E Y E X 2

=E X 2 E X 2 +2 E XY E X E Y +E Y 2 E X 2

∵  V X = E X 2 E X 2  (ここを参照), C X , Y = E X Y E X E Y  (ここを参照)

=V X +2C X,Y +V Y

 

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最終更新日: 2024年2月24日