行列 ${\displaystyle M}$ の性質

行列 ${\displaystyle M}$ は，ハット行列 ${\displaystyle H}$ を用いて

${\displaystyle M=I-H}$

で定義されている（行列 ${\displaystyle I}$ は単位行列である．ここでは $E$ ではなく ${\displaystyle I}$ を使っている）．

■性質

• ${\displaystyle {}^{t}M=M}$   ( ${\displaystyle M}$ ：対称行列)

  ●証明

  ${\displaystyle {}^{t}M={}^t\left(I-H\right)}$

  転置行列の性質より

  ${\displaystyle ={}^{t}I-{}^{t}H}$

  単位行列${\displaystyle I}$の体操性より，${\displaystyle {}^{t}I=I}$．よって

  ${\displaystyle =I-{}^{t}H}$

  ${\displaystyle {}^{t}H=H}$ より

  ${\displaystyle =I-H}$

  ${\displaystyle =M}$

• ${\displaystyle M^2=M}$   ( ${\displaystyle M}$ ：冪等行列)

  ●証明

  ${\displaystyle M^2=\left(I-H\right)\left(I-H\right)}$

  ${\displaystyle =\left(I-H\right)I-\left(I-H\right)H}$

  ${\displaystyle =I^2-HI-IH+H^2}$

  ${\displaystyle =I-2H+H^2}$

  ${\displaystyle H^2=H}$ より

  ${\displaystyle =I-H}$

  ${\displaystyle =M}$

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　最終更新日： 2026年7月13日