2変量正規分布シミュレーション（X, Yの2次元ヒストグラム）

2つの独立な正規分布に従う確率変数 $X$, $Y$ の組 $(X, Y)$ を繰り返し取り出し， 3D の棒グラフによる2次元ヒストグラムを作成する教材である．

確率変数 $X$ は平均 $\mu_X$，分散 $\sigma_X^2$ の正規分布 $N(\mu_X, \sigma_X^2)$ に従う．確率変数 $Y$ は平均 $\mu_Y$，分散 $\sigma_Y^2$ の正規分布 $N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ に従う．「実行」ボタンを押すたびに $(X, Y)$ の組を指定した個数だけ独立に取り出し， $X$ 軸と $Y$ 軸を底面，相対度数を高さとする3次元のヒストグラム（紫の棒）に反映する．ボタンを繰り返し押すことで，棒の高さが理論的な同時確率密度の曲面（緑の線）に近づいていく様子を観察できる． 3D グラフはドラッグ，またはグラフ下のスライダーで視点を回転できる．（縦軸は $X, Y$ 軸に対して見やすいように拡大して表示している）

$\mu_X$ :

$\sigma_X^2$ :

$\mu_Y$ :

$\sigma_Y^2$ :

1回の実行で取り出す個数 :

※ $\mu_X, \sigma_X^2, \mu_Y, \sigma_Y^2$ を変更するとヒストグラムはリセットされる．

直近に取り出した値 : X = － Y = －累計取り出し回数 : 0

相対度数（2次元ヒストグラム）同時確率密度 $f_X(x) f_Y(y)$（独立と仮定）

視点（方位角）:

視点（仰角）:

標本平均 X

—

理論平均 $\mu_X$

2.000

標本分散 X

—

理論分散 $\sigma_X^2$

9.000

標本平均 Y

—

理論平均 $\mu_Y$

3.000

標本分散 Y

—

理論分散 $\sigma_Y^2$

14.000

標本共分散

—

理論共分散（独立）

0.000

学習のポイント

同時確率密度関数 — $X$ と $Y$ が独立であるとき，$(X,Y)$ の同時確率密度は周辺密度の積で表される．

$$f(x, y) = f_X(x)\, f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_Y^2}} \exp\!\left(-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right)$$

ヒストグラムの各棒の高さは，その区間（ビン）に入った標本の相対度数である．ビンの幅を $X$ 方向 $w_X$，$Y$ 方向 $w_Y$ とすると，相対度数はおよそ $f(x,y)\, w_X w_Y$ に一致するため，緑の曲面は同時確率密度にビンの面積 $w_X w_Y$ を掛けたものを描いている．

独立性 — $X$ と $Y$ が独立であれば，標本の共分散はおおよそ 0 に近づく．「実行」ボタンを繰り返し押して標本数を増やし，標本共分散が 0 に近づく様子や， 3次元ヒストグラムが理論曲面に近づく様子を確認するとよい．

操作方法 — 3D グラフ上をドラッグすると視点を回転できる． 1回の実行で取り出す個数を大きくすると，少ない操作回数で分布の形を素早く確認できる．