解の公式の求め方

■ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ の解の公式の導出

　ただし， $b^{2} - 4 a c ≧ 0$ とする．

$a x^{2} + b x + c = 0$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = 0$

2次関数の平方完成の計算の仕方を参考に式を変形する．

$a {x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}} = 0$

$a \{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}\} = 0$

$a {{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})}^{2}} = 0$

因数分解の公式 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ を適用する

$a {(x + \frac{b}{2 a}) + (\frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})} {(x + \frac{b}{a}) - (\frac{\sqrt{b^{2} - a c}}{a})} = 0$

$a (x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - a c}}{a}) (x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - a c}}{a}) = 0$ 　･･････(1)

(1)が成り立つためには

$x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = 0$ ，あるいは， $x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = 0$

である．したがって

$x = - \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, - \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

となる．

　ただし， $b^{2} - a c ≧ 0$ とする．

$a x^{2} + 2 b x + c = 0$

$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = 0$

2次関数の平方完成の計算の仕方を参考に式を変形する．

$a {x^{2} + \frac{2 b}{a} x + {(\frac{b}{a})}^{2} - {(\frac{b}{a})}^{2} + \frac{c}{a}} = 0$

$a \{{(x + \frac{b}{a})}^{2} - \frac{b^{2} - a c}{a^{2}}\} = 0$

$a {{(x + \frac{b}{a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{b^{2} - a c}}{a})}^{2}} = 0$

因数分解の公式 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ を適用する

$a {(x + \frac{b}{a}) + (\frac{\sqrt{b^{2} - a c}}{a})} {(x + \frac{b}{a}) - (\frac{\sqrt{b^{2} - a c}}{a})} = 0$

$a (x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - a c}}{a}) (x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - a c}}{a}) = 0$ 　･･････(2)

(2)が成り立つためには

$x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - a c}}{a} = 0$ ，あるいは， $x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - a c}}{a} = 0$

である．したがって

$x = - \frac{b + \sqrt{b^{2} - a c}}{a}, - \frac{b - \sqrt{b^{2} - a c}}{a}$

$= \frac{- b - \sqrt{b^{2} - a c}}{a}, \frac{- b + \sqrt{b^{2} - a c}}{a}$

$= \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - a c}}{a}$

となる．

最終更新日： 2024年6月21日