円の方程式
- 中心：原点，半径：r の円の方程式
- 中心：C(a,b)，半径：r の円の方程式
- 原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式
- 複素数を用いた円の方程式
 ■中心：原点，半径：r の円の方程式
x 2 + y
2 = r 2
r と
θ を使って円周上の点Pを表すと，
{
x=rcosθ
y=rsinθ
となる．
x 2 +
y 2
= (
rcosθ )
2 + (
rsinθ
) 2
= r
2 (
cos 2 θ+
sin 2 θ
)
= r 2
■中心：C(a,b)，半径：r の円の方程式[topへ]  (
x−a
) 2 +
( y−b
) 2 =
r 2
r と
θ を使って円周上の点Pを表すと，
{ x=a+rcosθ
y=b+rsinθ
となる．
( x−a
) 2 +
( y−b
) 2
=
( a+rcosθ−a
) 2 +
( b+rsinθ−b
) 2
=
r 2 (
cos 2
θ+ sin
2 θ )
=
r 2
■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式[topへ]
 ( x− a 2 ) 2 + ( y− b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4
●式の導出 その1
円周角の定理より
∠OPQ=90°
．
よって，
OP
⟶
,
QP
⟶ の内積は，
OP ⟶
· QP
⟶ =0
となる．
この関係を，ベクトルの成分で表すと，
OP ⟶
=( x,y
),
QP ⟶
=( x−a,y−b
)
より
x(
x−a
)+y(
y−b )=0
となる．上記のような円の方程式の形に変形すると，
( x−
a 2 )
2 + (
y− b 2
) 2
= a 2
+ b 2
4
となる．
これが求める円の方程式である．
中心の座標は，
( a 2
, b 2
) ，半径は，
a 2
+ b 2
2 となる．
内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である．
●式の導出 その2
三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます．
OQ 2 =
OP 2 +
QP 2 より
a
2 + b 2
= x 2
+ y 2 +
(x−a)
2 + (
y−b )
2 a
2 + b 2
= x 2
+ y 2 +
x 2 −2ax+
a 2 + y
2 −2by+
b 2
0=2(
x 2 −ax+
y 2 −by
)
x 2 −ax+
y 2 −by=0
(
x− a 2
) 2
+ ( y−
b 2 )
2 = a
2 + b 2
4
■複素数を用いた円の方程式[topへ]
● 複素平面上において，原点Oを中心とする半径
r の 円の方程式
複素数を
z=x+yⅈ
とすると，
| z |=r
（
r= x
2 + y 2
） 極形式で表すと，
z=r(
cosθ+ⅈsinθ
) となる． ● 複素平面上において，点C（
α=a+bⅈ
）を中心とする半径
r
の 円の方程式
 複素数を
z=x+yⅈ
とすると，
|
z−α |=r
| (
x−yⅈ
)−(
a+bⅈ
) |=r
| (
x−a )+(
y−b )ⅈ
|=r
( r=
( x−a
) 2 +
( y−b
) 2
)
となる． ● 複素平面において，点A（
α=a+bⅈ
）と点B（
β=c+dⅈ
）があり，線分ABを直径とする円の方程式  複素数を
z=x+yⅈ
とすると，
arg z−α
z−β
=±90°
（円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照） あるいは， 円の中心が
α+β
2 ，円の半径が
| α−β
| 2
となるので，
| z−
α+β
2 |=
| α−β
| 2
と表すこともできる．
【問題演習】
金沢工業大学 2002年度 数学（A-2) III |
