円の方程式

1. 中心：原点，半径： ${\displaystyle r}$
2. 中心： ${\displaystyle \text{C}\left(a,b\right)}$ ，半径： ${\displaystyle r}$ の円の方程式
3. 原点 $\text{O}$ と点 $\text{Q}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ を結ぶ直線 $\text{OQ}$ を直径とする円の方程式
4. 複素数を用いた円の方程式
5. ベクトルを用いた円の方程式

■中心：原点，半径： $r$ の円の方程式

$x^2+y^2=r^2$

${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle \theta }$ を使って円周上の点 $\text{P}$ を表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}}$

となる．

${\displaystyle x^2+y^2}$${\displaystyle ={\left(r\cos \theta \right)}^2+{\left(r\sin \theta \right)}^2}$

${\displaystyle =r^2\left({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \right)}$

${\displaystyle =r^2}$

■中心： $\text{C}\left(\mathit{a},\mathit{b}\right)$ ，半径： $r$ の円の方程式[topへ]

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle \theta }$ を使って円周上の点$\text{P}$ を表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=a+rcos\theta \\ y=b+rsin\theta \end{array}}$

となる．

${\displaystyle {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\left(a+rcos\theta -a\right)}^2+{\left(b+rsin\theta -b\right)}^2}$

${\displaystyle ={\left(r\cos \theta \right)}^2+{\left(r\sin \theta \right)}^2}$

${\displaystyle =r^2}$

　

■原点 $\mathbf{\text{O}}$ と点 $\text{Q}\left(\mathit{a},\mathit{b}\right)$ を結ぶ直線 $\mathbf{\text{OQ}}$ を直径とする円の方程式[topへ]

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}}$

●式の導出 その1

円周角の定理より $\angle \text{OPQ}=90°$ ． よって， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OP}}}$ , ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{QP}}}$ の内積は， $\stackrel{⟶}{\text{OP}}·\stackrel{⟶}{\text{QP}}=0$ となる． この関係を，ベクトルの成分で表すと

$\stackrel{⟶}{\text{OP}}=\left(x,y\right),\stackrel{⟶}{\text{QP}}=\left(x-a,y-b\right)$

より

$x\left(x-a\right)+y\left(y-b\right)=0$

となる．上記のような円の方程式の形に変形すると

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}}$

となる．

これが求める円の方程式である．

中心の座標は， ${\displaystyle \left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)}$ ，半径は， ${\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$ となる．

内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である．

●式の導出 その2

三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます．

${\displaystyle {\text{OQ}}^2={\text{OP}}^2+{\text{QP}}^2}$ より

${\displaystyle a^2+b^2}$ ${\displaystyle =x^2+y^2+{(x-a)}^2+{\left(y-b\right)}^2}$

${\displaystyle 0=2\left(x^2-ax+y^2-by\right)}$

${\displaystyle x^2-ax+y^2-by=0}$

${\displaystyle {\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}}$

■複素数を用いた円の方程式[topへ]

● 複素平面上において，原点 $\mathbf{\text{O}}$ を中心とする半径 ${\displaystyle \mathit{r}}$  の 円の方程式

複素数を ${\displaystyle z=x+yi}$   とすると

${\displaystyle \left|z\right|=r}$   （ ${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$ ）

極形式で表すと

${\displaystyle z=r\left(cos\theta +isin\theta \right)}$

となる．

　

● 複素平面上において，点 $\mathbf{\text{C}}$ （ $\alpha =a+bi$  ）を中心とする半径 ${\displaystyle r}$   の 円の方程式

複素数を ${\displaystyle z=x+yi}$   とすると

${\displaystyle \left|z-\alpha \right|=r}$

${\displaystyle \left|\left(x-yi\right)-\left(a+bi\right)\right|=r}$

${\displaystyle \left|\left(x-a\right)+\left(y-b\right)i\right|=r}$

ただし， ${\displaystyle \left(r=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}\right)}$

となる．

● 複素平面において，点 $\mathbf{\text{A}}$ （ $\alpha =a+bi$ ）と点 $\mathbf{\text{B}}$ （ $\beta =c+di$ ）があり，線分 $\mathbf{\text{AB}}$ を直径とする円の方程式

複素数を ${\displaystyle z=x+yi}$   とすると

${\displaystyle arg\frac{z-\alpha }{z-\beta }=\pm 90°}$

（円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照）

あるいは

円の中心が ${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$ ，円の半径が ${\displaystyle \frac{\left|\alpha -\beta \right|}{2}}$ となるので

${\displaystyle \left|z-\frac{\alpha +\beta }{2}\right|=\frac{\left|\alpha -\beta \right|}{2}}$

と表すこともできる．

■ベクトルを用いた円の方程式[topへ]

●原点が中心で半径 $\mathit{r}$ の円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}\right|=r}$ ⇒ 導出

となる．

●点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ が中心で半径 $\mathit{r}$ の円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ，点 $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(a,b\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\right|=r}$ ⇒ 導出

となる．

●点 $\mathbf{\text{A}}$ $\left({\mathit{x}}_{\mathit{a}},{\mathit{y}}_{\mathit{a}}\right)$ ，点 $\mathbf{\text{B}}$ $\left({\mathit{x}}_{\mathit{b}},{\mathit{y}}_{\mathit{b}}\right)$ において，線分 $\mathbf{\text{AB}}$ を直径とする円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ，点 $\text{A}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(x_a,y_a\right)}$ ，点 $\text{B}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x_b,y_b\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\right)=0}$ ⇒ 導出

となる．

 

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最終更新日： 2026年8月13日