合成関数の極限の証明

■証明

${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle b}$ で連続であることより

任意の正数 ${\displaystyle \epsilon }$ に対して，適当な正数 ${\displaystyle {\delta }^{\prime }}$ があって， ${\displaystyle \left|u-b\right|<{\delta }^{\prime }}$ を満たすすべての ${\displaystyle u}$ について ${\displaystyle \left|f\left(u\right)-f\left(b\right)\right|<\epsilon }$ となる  ･･････(1)

ここで

${\displaystyle u=g\left(x\right)}$   ･･････(2)

とおくと，(1)は

任意の正数 ${\displaystyle \epsilon }$ に対して，適当な正数 ${\displaystyle {\delta }^{\prime }}$ があって， ${\displaystyle \left|g\left(x\right)-b\right|<{\delta }^{\prime }}$ を満たすすべての $x$ について $\left|f\left(g\left(x\right)\right)-f\left(b\right)\right|<\epsilon$ となる  ･･････(3)

と書き換えられる．

一方

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=b}$   ･･････(4)

より

この正の数 ${\delta }^{\prime }$ に対して，適当な正の数 $\delta$ が存在して， $0<\left|x-a\right|<\delta$ ならば ${\displaystyle \left|g\left(x\right)-b\right|<{\delta }^{\prime }}$ となる．(ここを参照)  ･･････(5)

(3)と(5)より

任意の正数 ${\displaystyle \epsilon }$ に対して，適当な正数 $\delta$ があって， $0<\left|x-a\right|<\delta$ を満たすすべての ${\displaystyle x}$ について $\left|f\left(g\left(x\right)\right)-f\left(b\right)\right|<\epsilon$ となる  ･･････(6)

といえる．

(6)より

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(b\right)}$   ･･････(7)

(4)より

$f\left(b\right)=f\left(\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right)$   ･･････(8)

(7)と(8)より

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right)}$

となる．以上より証明された．

 

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最終更新日 2026年6月8日