cos関数の合成 (composition of cosine functions)

２つのcos関数 $r_{1} \cos θ_{1}$ , $r_{2} \cos θ_{2}$ の合成

$r_{1} \cos θ_{1} + r_{2} \cos θ_{2} = r \cos (θ + φ)$

ここで，右辺の $r$ , $θ$ , $φ$ $(- π < φ \leq π)$ は次式で与えられる．

$r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2})}$

$θ = \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$

$\tan φ = \frac{r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \tan \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

ただし， $θ_{1} - θ_{2} = \pm π$ のとき， $r = r_{1} - r_{2}$ ， $φ = \pm π / 2$ とする．

または，次式のようにとっても構わない．

$r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} + θ_{2})}$

$θ = \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

$\tan φ = \frac{r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \tan \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$

ただし， $θ_{1} + θ_{2} = \pm π$ のとき， $r = r_{1} - r_{2}$ ， $φ = \pm π / 2$ とする．

■ 導出

⇒ 複素数を用いた導出（複素平面での幾何学的な意味）

$r_{1} \cos θ_{1} + r_{2} \cos θ_{2}$

$= \frac{r_{1} + r_{2}}{2} (\cos θ_{1} + \cos θ_{2})$ $+ \frac{r_{1} - r_{2}}{2} (\cos θ_{1} - \cos θ_{2})$

$= (r_{1} + r_{2}) \cos \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} \cos \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$ $- (r_{1} - r_{2}) \sin \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} \sin \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$ （ $∵$ 和積の公式）

上式において

$a = (r_{1} + r_{2}) \cos \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$ , $b = (r_{1} - r_{2}) \sin \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$ , $θ = \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$

とおくと

$r_{1} \cos θ_{1} + r_{2} \cos θ_{2} = a \cos θ - b \sin θ$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos θ - \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin θ)$

$= r (\cos θ \cos φ - \sin θ \sin φ)$ $= r \cos (θ + φ)$ （ $∵$ 加法定理）

が得られる．ここで， $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $\cos φ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ , $\sin φ = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ とおいた（三角関数の合成）．

また，

$a^{2} + b^{2}$ $= {(r_{1} + r_{2})}^{2} \cos^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$ $+ {(r_{1} - r_{2})}^{2} \sin^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

$= (r_{1}^{2} + 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) \cos^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$ $+ (r_{1}^{2} - 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) \sin^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

$= (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) (\cos^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} + \sin^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2})$ $+ 2 r_{1} r_{2} (\cos^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} - \sin^{2} \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2})$

$= r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2})$ （ $∵$ 2倍角の公式）

より

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ $= \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2})}$

であり， $φ$ は

$\tan φ = \frac{\sin φ}{\cos φ} = \frac{b}{a}$ $= \frac{(r_{1} - r_{2}) \sin \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}}{(r_{1} + r_{2}) \cos \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}}$ $= \frac{r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \tan \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

を満たす角である．（導出完了）

（※）導出の最初の展開式において

$a = (r_{1} + r_{2}) \cos \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$ , $b = (r_{1} - r_{2}) \sin \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$ , $θ = \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2}$

とおいて同様に進めると，

$r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{1} + θ_{2})}$ , $\tan φ = \frac{r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \tan \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}$

が得られる．

また，sin関数の形で合成

$r_{1} \cos θ_{1} + r_{2} \cos θ_{2} = r \sin (θ + φ)$

したり，sinの合成 $r_{1} \sin θ_{1} + r_{2} \sin θ_{2}$ や，sinとcosの合成 $r_{1} \sin θ_{1} + r_{2} \cos θ_{2}$ もできる．

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最終更新日：2023年2月28日