余弦定理

三角形の各辺${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle c}$ と各角${\displaystyle \text{A}}$ ,${\displaystyle \text{B}}$ ,${\displaystyle \text{C}}$ の間には以下に示す関係がある．

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bccos\text{A}\\ b^2=c^2+a^2-2cacos\text{B}\\ c^2=a^2+b^2-2abcos\text{C}\end{array}$

この関係を余弦定理という．

■証明

三角形の頂点${\displaystyle \text{C}}$から辺${\displaystyle \text{AB}}$に垂線${\displaystyle \text{CD}}$を引く．
直角三角形${\displaystyle \text{ACD}}$と直角三角形${\displaystyle \text{BCD}}$ができる．
直角三角形${\displaystyle \text{BCD}}$に三平方の定理を用いると

${\text{CB}}^2={\text{CD}}^2+{\text{BD}}^2$･･････(1)

となる．

${\displaystyle \text{CB}=a}$ ，${\displaystyle \text{CD}=bsin\text{A}}$  (⇒ここを参照)，${\displaystyle \text{BD}=c-bcos\text{A}}$  の関係を(1)に代入すると

が求められる．

${\displaystyle \text{A}=90°}$ ，鈍角の場合の証明は省略

同様にして，

$\begin{array}{c}{b}^2=c^2+a^2-2cacos\text{B}\\ c^2=a^2+b^2-2abcos\text{C}\end{array}$

も求められる．

 

■内積を用いた証明

図より(図を理解するには内積の幾何学的検討のページが参考になる)

${\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}$　･･････(2)

両辺のベクトルの大きさも等しくなるので

${\displaystyle \left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}$　･･････(3)

(3)の両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2}$　･･････(4)

内積の計算則を使って，(4)の右辺を以下のように式変形をする．

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}$

${\displaystyle =\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(-\overrightarrow{b}\right)}$

${\displaystyle =\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{a}-\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{b}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}}$

${\displaystyle ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$

${\displaystyle ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta }$

ここで

${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=a}$ ，${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}\right|=b}$，${\displaystyle \left|\overrightarrow{c}\right|=c}$とおくと

${\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta }$

となり，余弦定理が導かれた．

　

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最終更新日： 2023年10月26日