積分　√(a^2+x^2)

${\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2}dx}$    ${\displaystyle \left(a>0\right)}$

■部分積分法による解法

${\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2}dx}$${\displaystyle =\int 1\cdot \sqrt{a^2+x^2}dx}$

部分積分法より．${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sqrt{a^2+x^2}}$とおく．

${\displaystyle =x\sqrt{a^2+x^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{a^2+x^2}-\int \frac{x^2+a^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{a^2+x^2}-\int \sqrt{a^2+x^2}dx}$${\displaystyle +\int \frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{a^2+x^2}-\int \sqrt{a^2+x^2}dx}$${\displaystyle +a^{2}log\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|}$

${\displaystyle \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}$  の積分はここを参照のこと

改めて書き直すと

${\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2}dx}$${\displaystyle =x\sqrt{a^2+x^2}}$${\displaystyle -\int \sqrt{a^2+x^2}dx}$${\displaystyle +a^{2}log\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right|}$

${\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2}dx}$  について整理すると

積分定数を付け加えると

■置換積分法による解法

${\displaystyle x=atan\theta }$     ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$  とおくと

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=a{\left(\frac{sin\theta }{cos\theta }\right)}^{\prime }=a\frac{{cos}^2\theta +{sin}^2\theta }{{cos}^2\theta }}$${\displaystyle =a\frac{1}{{cos}^2\theta }}$  となり，${\displaystyle dx=\frac{a}{{cos}^2\theta }d\theta }$

よって

与式${\displaystyle =\int \sqrt{a^2+{\left(atan\theta \right)}^2}\cdot \frac{a}{{cos}^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \sqrt{a^2\left(1+tan{\theta }^2\right)}\cdot \frac{a}{{cos}^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \sqrt{\frac{a^2}{{cos}^2\theta }}\cdot \frac{a}{{cos}^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$  では${\displaystyle cos\theta \geqq 0}$  より，${\displaystyle \sqrt{\frac{a^2}{{cos}^2\theta }}=\frac{a}{cos\theta }}$

よって

${\displaystyle =\int \frac{a}{cos\theta }\cdot \frac{a}{{cos}^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \frac{a^2}{{cos}^3\theta }d\theta }$

${\displaystyle =a^2\int \frac{1}{{cos}^3\theta }d\theta }$

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^3\theta }d\theta }$  の積分はここを参照のこと

${\displaystyle sin\theta =\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}},cos\theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}}$  より

${\displaystyle \frac{sin\theta }{{cos}^2\theta }=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\cdot \frac{1}{{\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{x}{a^2}\cdot \sqrt{a^2+x^2}}$

${\displaystyle \frac{1+sin\theta }{1-sin\theta }=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{1-\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}}$${\displaystyle =\frac{{\left(1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)}^2}{1^2-{\left(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)}^2}{\frac{a^2+x^2-x^2}{a^2+x^2}}}$${\displaystyle ={\left(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}\right)}^2}$

これらより，変数を$\theta$  からx  に戻すと

${\displaystyle \frac{a^2}{2}loga}$  は定数なので，積分定数を ${\displaystyle \frac{a^2}{2}loga+C\to C}$ におきなおしている．

　

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　最終更新日： 2023年10月4日