ベクトルを用いた円の方程式

●原点が中心で半径 $r$ の円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}\right|=r}$

となる．

●点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ が中心で半径 $r$ の円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ，点 $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(a,b\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\right|=r}$

となる．

●点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(x_a,y_a\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(x_b,y_b\right)}$ において，線分 $\text{AB}$ を直径とする円の方程式

円周上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ，点 $\text{A}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(x_a,y_a\right)}$ ，点 $\text{B}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x_b,y_b\right)}$ とすると，円の方程式は

${\displaystyle \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\right)=0}$

となる．

■導出

●原点が中心で半径 $r$ の円の方程式

原点が中心で半径 $r$ の円の方程式は

${\displaystyle x^2+y^2=r^2}$ ･･････(1)

である．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ より

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{x^2+y^2}}$ ･･････(2)

（ベクトルの大きさを参照）

(1)，(2)より

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}\right|=r}$ ･･････(3)

が得られる．

●点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ が中心で半径 $r$ の円の方程式

点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ が中心で半径 $r$ の円の方程式は

${\displaystyle {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2}$ ･･････(4)

である．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(a,b\right)}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}=\left(x,y\right)-\left(a,b\right)}$ ${\displaystyle =\left(x-a,y-b\right)}$

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2-{\left(y-b\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\left(x-a,y-b\right)}$ ･･････(5)

（ベクトルの大きさを参照）

(4)，(5)より

${\displaystyle \left|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\right|=r}$ ･･････(6)

が得られる．

●点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(x_a,y_a\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(x_b,y_b\right)}$ において，線分 $\text{AB}$ を直径とする円の方程式

円の中心は

${\displaystyle \left(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2}\right)}$

半径は

よって，線分 $\text{AB}$ を半径とする円の方程式は

となる．(7)を式変形していく．

${\displaystyle \left(x-x_a\right)\left(x-x_b\right)}$ ${\displaystyle +\left(y-y_a\right)\left(y-y_b\right)=0}$ ･･････(8)

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(x_a,y_a\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x_b,y_b\right)}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\left(x-x_a,y-y_a\right)}$ ･･････(9)

${\displaystyle \overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}=\left(x-x_b,y-y_b\right)}$ ･･････(10)

(8)，(9)，(10)より

${\displaystyle \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\right)=0}$ ･･････(10)

（∵内積を参照）

が得られる．

◇円周角の定理を用いた導出

円周角の定理より， ${\displaystyle \angle \text{APB=90}°}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$ ･･････(11)

の関係式が得られる．また

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}}$ ･･････(12)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BP}}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}}$ ･･････(13)

である．

(11)，(12)，(13)より(10)が得られる．