内積の成分表示

平面ベクトルの場合

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2})$ , $\vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

となる.
空間ベクトル場合
$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ とすると

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

となる

■導出計算

（余弦定理を用いた導出はこちらへ）

●平面ベクトル場合

$\vec{a}$ を基本ベクトル表示で表すと

$\vec{a} = a_{1} {\vec{e}}_{1} + a_{2} {\vec{e}}_{2}$

となる.同様に $\vec{b}$ を基本ベクトル表示で表すと

$\vec{b} = b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2}$

となる.

内積計算の基本式を用いると

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ $= (a_{1} {\vec{e}}_{1} + a_{2} {\vec{e}}_{2}) \cdot \vec{b}$

$= (a_{1} {\vec{e}}_{1}) \cdot \vec{b} + (a_{2} {\vec{e}}_{2}) \cdot \vec{b}$ (分配法則より）

$= a_{1} ({\vec{e}}_{1} \cdot \vec{b}) + a_{2} ({\vec{e}}_{2} \cdot \vec{b})$ （定数倍の性質より）

$= a_{1} {{\vec{e}}_{1} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2})}$ $+ a_{2} {{\vec{e}}_{2} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2})}$

$= a_{1} {{\vec{e}}_{1} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1}) + {\vec{e}}_{1} \cdot (b_{2} {\vec{e}}_{2})}$ $+ a_{2} {{\vec{e}}_{2} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1}) + {\vec{e}}_{2} \cdot (b_{2} {\vec{e}}_{2})}$ （分配法則より）

$= a_{1} {b_{1} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{1}) + b_{2} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2})}$ $+ a_{2} {b_{1} ({\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{1}) + b_{2} ({\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{2})}$

$= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ （基本ベクトルの内積の計算より）

●空間ベクトルの場合

$\vec{a}$ を基本ベクトル表示で表すと

$\vec{a} = a_{1} {\vec{e}}_{1} + a_{2} {\vec{e}}_{2} + a_{3} {\vec{e}}_{3}$

となる．同様に $\vec{b}$ を基本ベクトル表示で表すと

$\vec{b} = b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2} + b_{3} {\vec{e}}_{3}$

となる．

内積計算の基本式を用いると

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ $= (a_{1} {\vec{e}}_{1} + a_{2} {\vec{e}}_{2} + a_{3} {\vec{e}}_{3}) \cdot \vec{b}$

$= (a_{1} {\vec{e}}_{1}) \cdot \vec{b} + (a_{2} {\vec{e}}_{2}) \cdot \vec{b} + (a_{3} {\vec{e}}_{3}) \cdot \vec{b}$ （結合法則より）

$= a_{1} ({\vec{e}}_{1} \cdot \vec{b}) + a_{2} ({\vec{e}}_{2} \cdot \vec{b}) + a_{3} ({\vec{e}}_{3} \cdot \vec{b})$ （定数倍の性質より）

$= a_{1} {{\vec{e}}_{1} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2} + b_{3} {\vec{e}}_{3})}$ $+ a_{2} {{\vec{e}}_{2} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2} + b_{3} {\vec{e}}_{3})}$ $+ a_{3} {{\vec{e}}_{3} \cdot (b_{1} {\vec{e}}_{1} + b_{2} {\vec{e}}_{2} + b_{3} {\vec{e}}_{3})}$ (結合法則より）

$= a_{1} {b_{1} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{1}) + b_{2} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2})$ $+ b_{3} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{3})} + a_{2} {b_{1} ({\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{1})$ $+ b_{2} ({\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{2}) + b_{3} ({\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{3})}$ $+ a_{3} {b_{1} ({\vec{e}}_{3} \cdot {\vec{e}}_{1}) + b_{2} ({\vec{e}}_{3} \cdot {\vec{e}}_{2}) + b_{3} ({\vec{e}}_{3} \cdot {\vec{e}}_{3})}$

$= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ （基本ベクトルの内積の計算より）

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最終更新日 2026年4月15日