複素数問題　解法のヒント

• 複素数 $z$ は実数である  ⇒   ${\displaystyle z=\overline{z}}$

• 複素数 $z$ は純虚数である  ⇒  ${\displaystyle z=-\overline{z},z\ne 0}$

• 複素数のn 乗を求めよ⇒極形式に変換 ⇒ド・モアブルの定理を利用してn 乗する

• 複素数 ${\displaystyle z_1=a+bi}$ ， ${\displaystyle z_2=c+di}$  が等しい

  ⇒実部と虚部が互いに等しい　 ${\displaystyle a=c,b=d}$ ，　絶対値と偏角が等しい  ${\displaystyle \left|z_1\right|=\left|z_2\right|,arg{z}_1=arg{z}_2}$

• ${\displaystyle \left|z\right|=1}$   ⇒ ${\displaystyle \frac{1}{z}=\overline{z}}$   ⇒   ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=z+\overline{z}=2cos\theta }$

• ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=-1}$   ⇒   ${\displaystyle z^2+z+1}$    ⇒   $z$ は ${\displaystyle z^3=1}$   の実数でない解     ${\displaystyle \because z^3-1=\left(z-1\right)\left(z^2+z+1\right)=0}$

  ${\displaystyle z^3=1}$  の解を参照

• ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=1}$   ⇒   ${\displaystyle z^2-z+1}$    ⇒    $z$ は ${\displaystyle z^3=-1}$   の実数でない解     ${\displaystyle \because z^3-1=\left(z+1\right)\left(z^2-z+1\right)=0}$

• 異なる複素数 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ が同一直線上にある

  ⇒   ${\displaystyle \beta -\alpha =k\left(\gamma -\alpha \right)}$ （ $k$ ：実数）　いいかえると， ${\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{\gamma -\alpha }}$ が実数

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最終更新日： 2025年4月17日