$z^3=1$ の解

$z^3=1$ の解は複素数を学習する上で非常に重要な式である．このページで詳しく解説する．

$z^3=1$ の解を求める．

まず， $z^3-1=0$ の形にして因数分解する．

$\left(z-1\right)\left(z^2+z+1\right)=0$   ･･････(1)

(1)より

$z-1=0$ または， $z^2+z+1=0$

$z^2+z+1=0$ を解の公式を使って解くと

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{-3}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{3}i}{2}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$

となり虚数解（ここを参照）となる．

以上より， $z^3=1$ の解は

1， ${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$

となる．

理解をさらに深めるために，求まった解を極形式に変えてみる(偏角 $\theta$ の範囲を $0°<\theta <360°$ とする)．

$1=cos0°+sin0°$

${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos120°+isin120°}$

${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos240°+isin240°}$

となり，複素数の絶対値が1で偏角が0°，120°，240°の120°間隔になっている特徴がある．

$z^3=1$ の3つの解${\displaystyle z_1}$ ，${\displaystyle z_2}$，${\displaystyle z_3}$ を複素平面上に表すと下図のようになる．

半径1の円上に $z=1$ を起点として 120°( $=\frac{360°}{3}$ )ずつ正の方向に 回転したところに解が存在する．

${\displaystyle \omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ とおく（ $\omega$ を1の原始立方根（虚数立方根）という）と, $\omega ·\omega ={\omega }^2$ は，複素数の積の特徴より，複素数 $\omega$ を120°回転させた複素数になる．すなはち $z^3=1$ の虚数解のもう一方 ${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ と一致する．

この複素数の積の特徴を利用して，さらに $z^3=1$ の解について考えてみる．

$z=1$ に ${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(=cos120°+isin120°\right)}$ を3回掛けると360°回転して元に戻る．式で表すと

${\displaystyle 1·(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$ ${\displaystyle (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$ ${\displaystyle (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

${\displaystyle ={(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}^3}$

${\displaystyle ={(cos120°+isin120°)}^3}$

${\displaystyle =\{cos(120°\times 3)+isin(120°\times 3\left)\right\}}$

${\displaystyle =cos360°+isin360°}$

${\displaystyle =1}$

$z=1$ に ${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(=cos240°+isin240°\right)}$ を3回掛けると720°回転して元に戻る．式で表すと，

${\displaystyle 1·(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$ ${\displaystyle (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$ ${\displaystyle (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

${\displaystyle ={(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}^3}$

${\displaystyle ={(cos240°+isin240°)}^3}$

${\displaystyle =\{cos(240°\times 3)+isin(240°\times 3\left)\right\}}$

${\displaystyle =cos720°+isin720°}$

${\displaystyle =1}$

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり， $z^n=\alpha$ の解である．

 

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最終更新日：2025年11月20日