アンペールの法則(Ampere's Law)

$B (r) = \nabla \times A (r)$ ･･････(1)

$A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{i (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'}$ ･･････(2)

について， $\nabla \times B$ を計算する．ここで， $A (r)$ は磁場 $B (r)$ のベクトルポテンシャルであり， $i (r)$ $= (i_{x} (r), i_{y} (r), i_{z} (r))$ は電流密度である．
ベクトル解析の公式 $\nabla \times (\nabla \times X) = \nabla (\nabla \cdot X) - Δ X$ を用いると，

$\nabla \times B$ $= \nabla \times (\nabla \times A)$ $= \nabla (\nabla \cdot A) - Δ A$ ･･････(3)

ここで，

Δ = \nabla^{2}

である．(3)式の右辺第1項は，

$\nabla \cdot A = \frac{μ_{0}}{4 π} [\frac{\partial}{\partial x} \int \frac{i_{x} (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'} + \frac{\partial}{\partial y} \int \frac{i_{y} (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'} + \frac{\partial}{\partial z} \int \frac{i_{z} (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'}]$ ･･････(4)

であるが，この式の右辺第1項で，

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{|r - r^{'}|} = - \frac{\partial}{\partial x^{'}} \frac{1}{|r - r^{'}|}$

の関係が成り立つことに注意すれば，

$\frac{\partial}{\partial x} \int \frac{i_{x} (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'}$ $= - \int [\frac{\partial}{\partial x^{'}} \frac{1}{|r - r^{'}|}] i_{x} (r^{'}) d V^{'}$

$= - \int \frac{\partial}{\partial x^{'}} [\frac{i_{x} (r^{'})}{|r - r^{'}|}] d V^{'} + \int \frac{1}{|r - r^{'}|} \frac{\partial i_{x} (r^{'})}{\partial x^{'}} d V^{'}$ ･･････(5)

と計算できる．(4)式の右辺第2，3項についても同様にすれば，

$\nabla \cdot A = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla_{r^{'}} \cdot [\frac{i (r^{'})}{|r - r^{'}|}] d V^{'} + \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla_{r^{'}} \cdot i (r^{'})}{|r - r^{'}|} d V^{'}$ ･･････(6)

を得る．ここで $\nabla_{r^{'}} = (\frac{\partial}{\partial x^{'}}, \frac{\partial}{\partial y^{'}}, \frac{\partial}{\partial z^{'}})$ であり， $\nabla_{r^{'}}$ の添え字はこの微分演算子がベクトル $r^{'}$ にのみ作用することを明示している．

(6)式の右辺第1項について、積分する空間領域の表面を $S^{'}$ としてガウスの定理を用いると，

$- \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla_{r^{'}} \cdot [\frac{i (r^{'})}{|r - r^{'}|}] d V^{'}$ $= - \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{S^{'}} \frac{i (r^{'}) \cdot d S^{'}}{|r - r^{'}|}$ ･･････(7)

と書ける．電流密度が空間の有限領域にのみ存在していると考えれば，積分領域を十分広く取ることで(7)式はゼロになる．また，(6)式の右辺第2項は定常電流に対する電荷保存則によりゼロとなる．したがって，(3)式は

$\nabla \times B = - Δ A$ $= - \frac{μ_{0}}{4 π} \int [Δ \frac{1}{|r - r^{'}|}] i (r^{'}) d V^{'}$ ･･････(8)

となる．(8)式において、関係式

$Δ \frac{1}{|r - r^{'}|} = - 4 π δ (r - r^{'})$ ･･････(9)

を用いれば、

$\nabla \times B$ $= - \frac{μ_{0}}{4 π} \int (- 4 π δ (r - r^{'})) i (r^{'}) d V^{'}$

$= μ_{0} i (r)$ ･･････(10)

が得られる．(10)式を微分形のアンペールの法則という．

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2026年1月14日