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単振動 : 微分方程式の解法 (solution of differential equation)

角振動数 ω の単振動の従う微分方程式

d2 x d t2 + ω2 x =0     - - - (1)

の一般解を求める:  解法1  解法2  (初期値問題は


解法1

与式は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので,解を x= e λt とおくと, dx / dt =λ eλt d2 x / d t2 = λ2 eλt より

d2 x d t2 + ω2 x = λ2 eλt + ω2 eλt = ( λ2 + ω2 ) eλt =0

となり, eλt 0 から,特性方程式

λ2 + ω2 =0     - - - (2)

を得る.この特性方程式の解は λ=±iω となり,それぞれ λ1 =iω λ2 =iω とすると,式(1)の一般解は2つの独立な解 eλ1t eλ2t  の線形結合

x= c1 eλ1t + c2 eλ2t = c1 eiωt + c2 eiωt    ( c1 , c2 : 任意定数(複素数))

として求まる.オイラーの公式 e±iθ = cosθ±isinθ を用いると,一般解は

x= c1 ( cosωt+isinωt ) + c2 ( cosωtisinωt ) =( c1 + c2 )cosωt +i ( c1 c2 )sinωt

と書ける.物理量 x が実数であることを考えると, c1 = ( A1 +i A2 ) /2 c2 = ( A1 i A2 ) /2 とおいて

x= A1 cosωt + A2 sinωt    ( A1 , A2 : 任意定数(実数))     - - - (3)

が求まる(2つの独立な解として, cosωt sinωt  を選び,それらの線形結合をとることに対応).

また, A= A12 + A22 cosα= A1 /A sinα= A2 /A とおいて,加法定理を用いると,一般解は

x=A ( A1 A cosωt + A2 A sinωt ) =A ( cosωtcosα sinωtsinα ) =Acos (ωt+α)     - - - (4)

と書ける.


解法2  ページトップ

与式に dx / dt をかけて整理すると,

dx dt ( d2 x d t2 + ω2 x ) = dx dt d2 x d t2 + ω2 x dx dt = 12 d dt { ( dx dt ) 2 } + 12 ω2 d dt {x2} =0

となるので,両辺を時刻 t で積分すると

12 ddt { ( dx dt ) 2 } dt + 12 ω2 ddt { x2 } dt = 12 ( dx dt ) 2 + 12 ω2 x2 =C   (定数)

が得られる(この式は力学的エネルギー保存則を表している).

左辺はすべて正の項なので右辺の定数も正であり, C= (1/2) ω2 A2 とおく( A :定数).よって,

12 ( dx dt ) 2 + 12 ω2 x2 = 12 ω2 A2     ⇒     ( dx dt ) 2 = ω2 ( A2 x2 )     ⇒     dx dt = ±ω A2 x2

となり,変数分離して両辺を積分すると

±dx A2 x2 =ωdt     ⇒     ±dx A2 x2 = ωdt     ⇒     cos1 xA = ωt+α   ( α :定数)

が得られ,両辺の cos をとって A をかければ,与式の一般解として

x=Acos (ωt+α)     - - - (5)

が求まる.ここで, cos(θ) =cosθ を用いた.



初期値問題  ページトップ

初期条件 x(0)= x0 v(0)= v0 を満たす特殊解を求める( v(t)= dx/ dt ).


一般解を  x= A1 cosωt + A2 sinωt  とした場合

v= dx dt = A1 ωsinωt + A2 ωcosωt

初期条件より

x(0) = A1cos0 + A2sin0 = A1 = x0

v(0) = A1ωsin0 + A2ωcos0 = A2ω = v0     ⇒     A2 = v0 ω

なので,初期条件を満たす解は次式となる.

x= x0 cosωt + v0 ω sinωt     - - - (6)


一般解を  x=Acos (ωt+α)  とした場合

v= dx dt =Aωsin (ωt+α)

初期条件より

x(0) = Acos (0+α) = Acosα = x0

v(0) = Aωsin (0+α) = Aωsinα = v0     ⇒     Asinα= v0 ω

なので,任意定数 A α

A2 = (Acosα) 2 + (Asinα) 2 = x02 + ( v0 ω )2 = x02 + v02 ω2     - - - (7)

tanα = sinα cosα = v0 ω x0 = v0 x0 ω      ( x0 0 )     - - - (8)

を満たすように決定する( x0 =0 のときは, cosα=0 を満たす α を考えればよい ).

この場合, A については正負の, α については nπ n :整数)の任意性が残っているが, A>0 と制限すると,

A= x02 + v02 ω2     - - - (9)

であり, α については,次の2式

cosα= x0 A = x0ω ( x0ω ) 2 + v02   ,   sinα= v0 Aω = v0 ( x0ω ) 2 + v02     - - - (10)

を同時に満たすように π<απ の範囲内で考えれば,一意的に決まる.


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