等加速度運動 (uniformly accelerated motion)

物体の加速度が一定で変化しない（加速度の大きさも向きも変化しない）運動を等加速度運動 (uniformly accelerated motion)という．運動方程式から，物体の加速度が一定ということは，その物体に作用する合力が一定であるということである．

物体の加速度 ${\displaystyle \mathit{a}(t)}$ が時刻 ${\displaystyle t}$ に依らず一定の値 ${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ (${\displaystyle \ne \mathbf{0}}$) とする．ここで，物体の質量を ${\displaystyle m}$ ，物体に作用する一定の力を ${\displaystyle \mathit{F}}$ とすると， ${\displaystyle {\mathit{a}}_0=\mathit{F}/m}$ である．物体の速度を ${\displaystyle \mathit{v}(t)}$ として

${\displaystyle \mathit{a}(t)=\frac{d\mathit{v}}{dt}={\mathit{a}}_0}$ （一定）    --- (1)

であるので，両辺を時刻 ${\displaystyle t}$ で積分することにより，物体の速度が時刻 ${\displaystyle t}$ の関数として

${\displaystyle \mathit{v}(t)={\displaystyle \int \mathit{a}(t)dt}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int {\mathit{a}}_{0}dt}}$ ${\displaystyle ={\mathit{a}}_{0}t+{\mathit{C}}_1}$

と求まる（ ${\displaystyle {\mathit{C}}_1}$ ：積分定数）．初速度（時刻 ${\displaystyle t=0}$ での速度）を ${\displaystyle \mathit{v}(0)={\mathit{v}}_0}$ とすると ${\displaystyle {\mathit{C}}_1={\mathit{v}}_0}$ なので

${\displaystyle \mathit{v}(t)={\mathit{a}}_{0}t+{\mathit{v}}_0}$     --- (2)

である．さらに，物体の位置を ${\displaystyle \mathit{r}(t)}$ として，上式の両辺を時刻 ${\displaystyle t}$ で積分すると，物体の位置が時刻 ${\displaystyle t}$ の関数として

${\displaystyle \mathit{r}(t)={\displaystyle \int \mathit{v}(t)dt}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int ({\mathit{a}}_{0}t+{\mathit{v}}_0)dt}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}{\mathit{a}}_0{t}^2+{\mathit{v}}_{0}t+{\mathit{C}}_2}$

と求まる（ ${\displaystyle {\mathit{C}}_2}$ ：積分定数）．初期位置（時刻 ${\displaystyle t=0}$ での位置）を ${\displaystyle \mathit{r}(0)={\mathit{r}}_0}$ とすると ${\displaystyle {\mathit{C}}_2={\mathit{r}}_0}$ なので

${\displaystyle \mathit{r}(t)=\frac{1}{2}{\mathit{a}}_0{t}^2+{\mathit{v}}_{0}t+{\mathit{r}}_0}$     --- (3)

である．等加速度運動の例としては，物体が動摩擦力を受けながら滑る運動や，地表において重力のみが作用する運動などがある．

式(2)，(3)から時刻 ${\displaystyle t}$ を消去すると，

${\displaystyle {(\mathit{v}\cdot {\mathit{e}}_a)}^2-{({\mathit{v}}_0\cdot {\mathit{e}}_a)}^2=2{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)}$     --- (4)

の関係式が得られる．ここで，${\displaystyle {\mathit{e}}_a={\mathit{a}}_0/\left|{\mathit{a}}_0\right|}$ は，${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ と同じ向きの単位ベクトルである．

【式(4)の導出】

式(2)右辺の ${\displaystyle {\mathit{v}}_0}$ を左辺に移項して，両辺ともに ${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ との内積をとると

${\displaystyle {\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{v}-{\mathit{v}}_0)={\left|{\mathit{a}}_0\right|}^{2}t}$     ⇒     ${\displaystyle t=\frac{{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{v}-{\mathit{v}}_0)}{{\left|{\mathit{a}}_0\right|}^2}}$

が得られる．また，式(3)についても右辺の ${\displaystyle {\mathit{r}}_0}$ を左辺に移項して，両辺ともに ${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ との内積をとり，上で求めた ${\displaystyle t}$ の表式を代入すると

${\displaystyle {\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)=\frac{1}{2}{\left|{\mathit{a}}_0\right|}^2{\left(\frac{{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{v}-{\mathit{v}}_0)}{{\left|{\mathit{a}}_0\right|}^2}\right)}^2+({\mathit{a}}_0\cdot {\mathit{v}}_0)\left(\frac{{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{v}-{\mathit{v}}_0)}{{\left|{\mathit{a}}_0\right|}^2}\right)}$
${\displaystyle \phantom{{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)}=\frac{1}{2{\left|{\mathit{a}}_0\right|}^2}\left[{\left\{({\mathit{a}}_0\cdot \mathit{v})-({\mathit{a}}_0\cdot {\mathit{v}}_0)\right\}}^2+2({\mathit{a}}_0\cdot {\mathit{v}}_0)\left\{({\mathit{a}}_0\cdot \mathit{v})-({\mathit{a}}_0\cdot {\mathit{v}}_0)\right\}\right]}$
${\displaystyle \phantom{{\mathit{a}}_0\cdot (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)}=\frac{1}{2}\left\{{(\mathit{v}\cdot \frac{{\mathit{a}}_0}{\left|{\mathit{a}}_0\right|})}^2-{({\mathit{v}}_0\cdot \frac{{\mathit{a}}_0}{\left|{\mathit{a}}_0\right|})}^2\right\}}$

が得られ，式(4)が求まる．

もし，初速度 ${\displaystyle {\mathit{v}}_0}$ が加速度 ${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ と平行もしくはゼロならば，物体は等加速度で1次元の運動をする（等加速度直線運動）．この場合，初期位置 ${\displaystyle {\mathit{r}}_0}$ を通って，加速度 ${\displaystyle {\mathit{a}}_0}$ と平行になるように ${\displaystyle x}$ 軸をとると，物体の速度と位置は

${\displaystyle v_x(t)=a_{0}t+v_0}$     --- (5)

${\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+v_{0}t+x_0}$     --- (6)

のように1次元の運動として表せる．ここで，${\displaystyle x_0}$ は ${\displaystyle x}$ 軸上にある初期位置であり， ${\displaystyle a_0}$ , ${\displaystyle v_0}$ はそれぞれ，加速度と初速度の ${\displaystyle x}$ 方向成分を表す．つまり， ${\displaystyle x}$ 軸の正方向の単位ベクトルを ${\displaystyle {\mathit{e}}_x}$ として，${\displaystyle a_0={\mathit{a}}_0\cdot {\mathit{e}}_x}$ , ${\displaystyle v_0={\mathit{v}}_0\cdot {\mathit{e}}_x}$ と表される．位置 ${\displaystyle x(t)}$ は時刻 ${\displaystyle t}$ についての2次関数であり，平方完成すると

${\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}{a}_0{\left(t+\frac{v_0}{a_0}\right)}^2+x_0-\frac{v_0^2}{2a_0}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}{a}_0{\left(t-t_{\text{c}}\right)}^2+x_{\text{c}}}$     --- (7)

となって，${\displaystyle x\text{-}t}$ グラフの頂点 ${\displaystyle (t_{\text{c}},x_{\text{c}})}$ が

${\displaystyle (t_{\text{c}},x_{\text{c}})=\left(t_{\text{c}},x_0-\frac{1}{2}{a}_0{t}_{\text{c}}^2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{v_0}{a_0},x_0-\frac{v_0^2}{2a_0}\right)}$     --- (8)

であることが分かる．また，等加速度直線運動の場合，式(4)は

${\displaystyle {v_x}^2-{v_0}^2=2a_0(x-x_0)}$     --- (9)

と表され，よく知られた関係式となる（式(5)，(6)から ${\displaystyle t}$ を消去すれば容易に求められる）．

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