モンキー・ハンティング 1

時刻 $t = 0$ で質量 $m_{1}$ の物体 $1$ を水平に対して角度 $θ$ の方向に初速度 $v_{0}$ で投げる（斜方投射）．投げた地点を原点とし水平方向を $x$ 軸，鉛直上向きを $y$ 軸とする．また，原点から $x$ 方向へ距離 $l$ ，高さ $h$ の所から時刻 $t = 0$ で質量 $m_{2}$ の物体 $2$ を初速度 $0$ で自由落下させる．物体 $1$ の $x$ 座標および $y$ 座標はそれぞれ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ，物体 $2$ の $y$ 座標は $y_{2}$ とする．空気抵抗は無視できるものとし，重力加速度を $g$ とする．

$(1)$

物体 $1$ の $x$ 軸， $y$ 軸方向の運動方程式および物体 $2$ の $y$ 軸方向の運動方程式を書け．

解答

物体 $1$ の $x$ 軸方向： $m_{1} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} = 0$
物体 $1$ の $y$ 軸方向： $m_{1} \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} = - m_{1} g$
物体 $2$ の $y$ 軸方向： $m_{2} \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} = - m_{2} g$

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解説

各物体にはたらく力は重力のみである．また，物体 $1$ の $x$ 軸方向の加速度は $\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}$ ，物体 $1$ の $y$ 軸方向の加速度は $\frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}}$ ，物体 $2$ の $y$ 軸方向の加速度は $\frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}}$ である．

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$(2)$

$(1)$ で求めた運動方程式を解いて，物体 $1$ の $x$ 軸， $y$ 軸方向の速度 $v_{x 1} (t)$ ， $v_{y 1} (t)$ および物体 $1$ の $x$ 軸， $y$ 軸方向の位置 $x_{1} (t)$ ， $y_{1} (t)$ ，物体 $2$ の $y$ 軸方向の速度と位置 $v_{y 2} (t)$ ， $y_{2} (t)$ をそれぞれ求めよ．

解答

物体 $1$ の速度 $v_{x 1} (t) = v_{0} \cos θ$ ， $v_{y 1} (t) = v_{0} \sin θ - g t$
物体 $1$ の位置 $x_{1} (t) = v_{0} t \cos θ$ ， $y_{1} (t) = v_{0} t \sin θ - \frac{1}{2} g t^{2}$
物体 $2$ の速度 $v_{y 2} (t) = - g t$
物体 $2$ の位置 $y_{2} (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2}$

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解説

斜方投射は， $x$ 軸方向は等速直線運動， $y$ 軸方向は鉛直投げ上げと同じ運動をする．

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$(3)$

物体 $1$ の $x$ 座標が距離 $l$ 離れた地点に到達する時刻を $t_{A}$ とする．時刻 $t_{A}$ を求めよ．

解答

$t_{A} = \frac{l}{v_{0} \cos θ}$

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解説

$(2)$ より

$x_{1} (t_{A}) = v_{0} t_{A} \cos θ = l$

よって

$t_{A} = \frac{l}{v_{0} \cos θ}$

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$(4)$

$(3)$ で求めた時刻 $t_{A}$ のときに物体 $1$ と物体 $2$ の $y$ 座標が一致すれば，両者は点 $A$ で衝突する．このとき，角度 $θ$ がどのような条件を満たせばよいか答えよ．

解答

$\tan θ = \frac{h}{l}$

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解説

時刻 $t_{A}$ で物体 $1$ と物体 $2$ の $y$ 座標が一致するので， $y_{1} (t_{A}) = y_{2} (t_{A})$ である．
したがって， $v_{0} t_{A} \sin θ - \frac{1}{2} g t_{A}^{2} = h - \frac{1}{2} g t_{A}^{2}$ より $v_{0} t_{A} \sin θ = h$ となる．
$t_{A}$ に $(3)$ でもとめた式を代入すると $v_{0} \times \frac{l}{v_{0} \cos θ} \times \sin θ = h$ となることから，
$\tan θ = \frac{h}{l}$ という角度 $θ$ についての条件が得られる．

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$(5)$

$(4)$ のように物体 $1$ と物体 $2$ が衝突する状況のとき，投射開始から衝突する直前までの，物体 $2$ から見た物体 $1$ の運動はどのようになると考えられるか．

解答

一直線に物体 $1$ が自身を目指して飛んでくるように見える，等速直線運動．実際の動画はこちら

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解説

2つの物体の相対速度は $(2)$ で求めた物体の速度から
$v_{x 1} - v_{x 2} = v_{0} \cos θ$
$v_{y 1} - v_{y 2} = v_{0} \sin θ - g t - (- g t) = v_{0} \sin θ$ となる．
$(4)$ より $θ$ は物体 $1$ と $2$ の初期位置をつなぐ直線と $x$ 軸のなす角であり，相対速度が時刻 $t$ によらない等速直線運動であるため，物体 $2$ からは物体 $1$ が常に自身に向かって速度 $v_{0}$ の等速直線運動で飛んでくるように見える．

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$(6)$

物体 $1$ が最高点に達した時に物体 $2$ と衝突するためには初速度 $v_{0}$ がどのような条件を満たせばよいか答えよ．

解答

$v_{0} = \sqrt{\frac{g (l^{2} + h^{2})}{h}}$

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解説

衝突点 $A$ で物体 $1$ が最高点に達する条件は $v_{y 1} (t_{A}) = v_{0} \sin θ - g t_{A} = 0$ より $v_{0} \sin θ - g \frac{l}{v_{0} \cos θ} = 0$
したがって， $v_{0}^{2} = \frac{g l}{\sin θ \cos θ} = \frac{g l}{\frac{\sin θ}{\cos θ} \cos^{2} θ} = \frac{g l}{\tan θ \cos^{2} θ} = \frac{g l^{2}}{h} \frac{1}{\cos^{2} θ}$ となり， $\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$ を用いると
$v_{0}^{2} = \frac{g l^{2}}{h} (1 + \tan^{2} θ) = \frac{g l^{2}}{h} (1 + \frac{h^{2}}{l^{2}}) = \frac{g (l^{2} + h^{2})}{h}$
を得る．最終的に $v_{0} = \sqrt{\frac{g (l^{2} + h^{2})}{h}}$ という初速度 $v_{0}$ についての条件を得る．

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2021年7月13日