モンキー・ハンティング 1

各物体にはたらく力は重力のみである．また，物体 ${\displaystyle 1}$ の ${\displaystyle x}$ 軸方向の 加速度 は ${\displaystyle \frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}}$ ，物体 ${\displaystyle 1}$ の ${\displaystyle y}$ 軸方向の加速度は ${\displaystyle \frac{d^2{y}_1}{d{t}^2}}$ ，物体 ${\displaystyle 2}$ の ${\displaystyle y}$ 軸方向の加速度は ${\displaystyle \frac{d^2{y}_2}{d{t}^2}}$ である．

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斜方投射 は， ${\displaystyle x}$ 軸方向は等速直線運動， ${\displaystyle y}$ 軸方向は鉛直投げ上げと同じ運動をする．

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${\displaystyle \left(2\right)}$ より

${\displaystyle x_1\left(t_{\text{A}}\right)=v_0{t}_{\text{A}}\cos \theta =l}$

よって

${\displaystyle t_{\text{A}}=\frac{l}{v_0\cos \theta }}$

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時刻 ${\displaystyle t_{\text{A}}}$ で物体 ${\displaystyle 1}$ と物体 ${\displaystyle 2}$ の ${\displaystyle y}$ 座標が一致するので， ${\displaystyle y_1\left(t_{\text{A}}\right)=y_2\left(t_{\text{A}}\right)}$ である．
したがって， ${\displaystyle v_0{t}_{\text{A}}\sin \theta -\frac{1}{2}g{t}_{\text{A}}^2=h-\frac{1}{2}g{t}_{\text{A}}^2}$ より ${\displaystyle v_0{t}_{\text{A}}\sin \theta =h}$ となる．
${\displaystyle t_{\text{A}}}$ に ${\displaystyle \left(3\right)}$ でもとめた式を代入すると ${\displaystyle v_0\times \frac{l}{v_0\cos \theta }\times \sin \theta =h}$ となることから，
${\displaystyle \tan \theta =\frac{h}{l}}$ という角度 ${\displaystyle \theta }$ についての条件が得られる．

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2つの物体の相対速度は ${\displaystyle \left(2\right)}$ で求めた物体の速度から
${\displaystyle v_{x1}-v_{x2}=v_0\cos \theta }$
${\displaystyle v_{y1}-v_{y2}=v_0\sin \theta -gt-\left(-gt\right)=v_0\sin \theta }$ となる．
${\displaystyle \left(4\right)}$より ${\displaystyle \theta }$ は物体${\displaystyle 1}$と ${\displaystyle 2}$ の初期位置をつなぐ直線と ${\displaystyle x}$ 軸のなす角であり，相対速度が時刻${\displaystyle t}$ によらない等速直線運動であるため，物体 ${\displaystyle 2}$ からは物体 ${\displaystyle 1}$ が常に自身に向かって速度 ${\displaystyle v_0}$ の等速直線運動で飛んでくるように見える．

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衝突点 ${\displaystyle \text{A}}$ で物体 ${\displaystyle 1}$ が最高点に達する条件は ${\displaystyle v_{y1}\left(t_{\text{A}}\right)=v_0\sin \theta -g{t}_{\text{A}}=0}$ より ${\displaystyle v_0\sin \theta -g\frac{l}{v_0\cos \theta }=0}$
したがって， ${\displaystyle v_0^2=\frac{gl}{\sin \theta \cos \theta }=\frac{gl}{\frac{\sin \theta }{\cos \theta }{\cos }^2\theta }=\frac{gl}{\tan \theta {\cos }^2\theta }=\frac{g{l}^2}{h}\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ となり， ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+{\tan }^2\theta }$ を用いると
${\displaystyle v_0^2=\frac{g{l}^2}{h}\left(1+{\tan }^2\theta \right)=\frac{g{l}^2}{h}\left(1+\frac{h^2}{l^2}\right)=\frac{g\left(l^2+h^2\right)}{h}}$
を得る．最終的に ${\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{g\left(l^2+h^2\right)}{h}}}$ という初速度 ${\displaystyle v_0}$ についての条件を得る．

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