鉛直ばね振り子

フックの法則により，自然長から ${\displaystyle x_0}$ だけ伸びたときのばねの復元力は ${\displaystyle f=-k{x}_0}$ である．これが小球に働く重力とつり合うので

${\displaystyle mg-k{x}_0=0}$

が成り立つ．したがって，

${\displaystyle x_0=\frac{mg}{k}}$

と表される．

閉じる

小球の位置が ${\displaystyle x}$ のとき，自然長からのばねの変位は ${\displaystyle x_0+x}$ なので，このときのばねの復元力は ${\displaystyle f=-k(x_0+x)}$ である．したがって，おもりに作用する合力は

${\displaystyle F=mg-k(x_0+x)=mg-k{x}_0-kx=-kx}$     ( ${\displaystyle \because mg-k{x}_0=0}$ )

となる．つまり，小球に働く力は，つり合いの位置からの変位 ${\displaystyle x}$ に比例する．

閉じる

運動方程式 ${\displaystyle ma=F}$ において ${\displaystyle a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$ ，${\displaystyle F=-kx}$ を用いると，小球の運動方程式は

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx}$

となる．

閉じる

運動方程式を整理して， ${\displaystyle \omega =\sqrt{k/m}}$ とおくと

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{k}{m}x}$     ⇒     ${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0}$

となり，定数係数の2階同次線形微分方程式が得られる．その特性方程式 ${\displaystyle {\lambda }^2+{\omega }^2=0}$ の解は ${\displaystyle \lambda =\pm \omega i}$ である（ ${\displaystyle i}$ は虚数単位）．特性方程式の解が虚数になるので，一般解は

${\displaystyle x\left(t\right)=C_1\sin \omega t+C_2\cos \omega t}$

となる．この解を時刻 ${\displaystyle t}$ で微分すると，速度

${\displaystyle v_x\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=C_1\omega \cos \omega t-C_2\omega \sin \omega t}$

を得る．ばねを原点から ${\displaystyle x}$ 軸の正の向きに ${\displaystyle x=A_0}$ まで伸ばして放すという初期条件より，

${\displaystyle x\left(0\right)=C_1\sin 0+C_2\cos 0=C_2=A_0}$

となり，ばねを静かに放す（初速ゼロ）という初期条件より，

${\displaystyle v_x\left(0\right)=C_1\omega \cos 0-C_2\omega \sin 0=C_1\omega =0}$   ⇒   ${\displaystyle C_1=0}$

となる．よって，初期条件を満たす解は

${\displaystyle x\left(t\right)=A_0\cos \omega t}$

と求まる．

閉じる

周期 ${\displaystyle T}$ は

${\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\sqrt{k/m}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$

と表されるので， ${\displaystyle x_0=9.8\text{cm}}$ ， ${\displaystyle g=9.8{\text{m/s}}^2}$ ，および ${\displaystyle mg-k{x}_0=0}$ より，

${\displaystyle \frac{m}{k}=\frac{x_0}{g}=\frac{0.098}{9.8}=0.010{\text{s}}^{\text{2}}}$

を上式に代入すると，周期

${\displaystyle T=2\pi \sqrt{0.010}=0.20\pi =0.628\cdots \approx 0.63\text{s}}$

を得る．また， ${\displaystyle m=45\text{g}}$ ， ${\displaystyle \frac{m}{k}=0.010{\text{s}}^{\text{2}}}$ より，ばね定数

${\displaystyle k=\frac{0.045}{0.010}=4.5\text{N/m}}$

を得る．

閉じる