平均速度・速度，平均加速度・加速度

平均速度 ${\displaystyle \overline{v}}$ は，位置 ${\displaystyle x}$ の変化量 ${\displaystyle \Delta x}$ を時間 ${\displaystyle t}$ の変化量 ${\displaystyle \Delta t}$ で割ることで求めることができる．時刻 ${\displaystyle 1\text{s}}$ から時刻 ${\displaystyle 2\text{s}}$ の場合は，
${\displaystyle \Delta x=x\left(2\right)-x\left(1\right),\Delta t=2-1}$ だから，
${\displaystyle \overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x\left(2\right)-x\left(1\right)}{2-1}}$ となる．
また， ${\displaystyle x\left(t\right)=2t^2-2}$ であるから，
${\displaystyle x\left(2\right)=2\cdot 2^2-2,x\left(1\right)=2\cdot 1^2-2}$ なので，
${\displaystyle \overline{v}=\frac{\left(2\cdot 2^2-2\right)-\left(2\cdot 1^2-2\right)}{2-1}=\frac{\left(8-2\right)-\left(2-2\right)}{1}=\frac{6-0}{1}=6\text{m/s}}$ となる．

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時刻 ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ における速度 ${\displaystyle v\left(t\right)}$ は位置 ${\displaystyle x\left(t\right)}$ の導関数として求めることができる．したがって，時刻 ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ における速度の式を求めるためには位置 ${\displaystyle x\left(t\right)}$ の式を時刻 ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ について微分すればよい．
位置 ${\displaystyle x\left[\text{m}\right]}$ の式より，
${\displaystyle \begin{array}{l}x\left(t\right)=2t^2-2\\ v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=2\cdot 2t^{2-1}-0=4t\end{array}}$
時刻 ${\displaystyle 2\text{s}}$ のときの速度は， ${\displaystyle t=2\text{s}}$ を代入すると求めることができ，
${\displaystyle v\left(2\right)=4\cdot 2=8\text{m/s}}$
となる．

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平均加速度は，速度 ${\displaystyle v}$ の変化量 ${\displaystyle \Delta v}$ を時間 ${\displaystyle t}$ の変化量 ${\displaystyle \Delta t}$ で割ることで求めることができる．
${\displaystyle \Delta v=v\left(2\right)-v\left(1\right),\Delta t=2-1}$ だから，
${\displaystyle \overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\left(2\right)-v\left(1\right)}{2-1}}$ となる．
また， ${\displaystyle v\left(t\right)=4t}$ であるから，
${\displaystyle v\left(2\right)=4\cdot 2,v\left(1\right)=4\cdot 1}$ より，
${\displaystyle \overline{a}=\frac{4\cdot 2-4\cdot 1}{2-1}=\frac{8-4}{1}=4{\text{m/s}}^2}$ となる．

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任意の時刻 ${\displaystyle t}$ における加速度 ${\displaystyle a}$ は，速度の導関数として求めることができる．
したがって，(1)より
${\displaystyle a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}=v^{\prime }\left(t\right)={\left(4t\right)}^{\prime }=4{\text{m/s}}^2}$
よって，加速度は時刻に依存せずに一定なので，時刻 ${\displaystyle 3\text{s}}$ のときも変わらず，
${\displaystyle a\left(3\right)=4{\text{m/s}}^2}$ となる．

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