球の慣性モーメント

半径 ${\displaystyle R}$ の球の体積は ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3}$ なので，球の密度を ${\displaystyle \rho }$ とすると

${\displaystyle \rho =\frac{3M}{4\pi R^3}}$

である．図に示すように，回転軸を ${\displaystyle z}$ 軸にとり，この球を ${\displaystyle z}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dz}$ でスライスし，多数の薄い円板に分割する． ${\displaystyle z}$ 方向の位置 ${\displaystyle z}$ における円板の半径は ${\displaystyle r=\sqrt{R^2-z^2}}$ であるので，この円板の体積は

${\displaystyle dV=\pi r^2\cdot dz}$ ${\displaystyle =\pi (R^2-z^2)dz}$

と表せる．よって，この円板の質量を ${\displaystyle dm}$ とおくと

${\displaystyle dm=\rho dV}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{4\pi R^3}\cdot \pi (R^2-z^2)dz}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{4R^3}(R^2-z^2)dz}$

となる．この円板の慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は，質量中心を通り面に垂直な回転軸周りの円板の慣性モーメント（ ${\displaystyle I=M{R}^2/2}$ ）より

${\displaystyle dI=\frac{dm\cdot r^2}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{3M}{4R^3}(R^2-z^2)dz\cdot (R^2-z^2)}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{8R^3}{(R^2-z^2)}^{2}dz}$

となる．したがって，求める慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-R}^R\frac{3M}{8R^3}{(R^2-z^2)}^{2}dz}}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{8R^3}{\displaystyle {\int }_{-R}^R(R^4-2R^2{z}^2+z^4)dz}}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{3M}{8R^3}{[R^{4}z-\frac{2}{3}{R}^2{z}^3+\frac{1}{5}{z}^5]}_{-R}^R}$ ${\displaystyle =\frac{3M{R}^2}{4}(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5})}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{3M{R}^2}{4}\cdot \frac{8}{15}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{5}M{R}^2}$

となる．

★ 極座標を用いて計算

図に示すように，球を微小部分に分割し，極座標 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ を用いて，微小部分の体積を表すと

${\displaystyle dV=dr\cdot rd\theta \cdot r\sin \theta d\varphi }$
${\displaystyle \phantom{dV}=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi }$

となるので，球の密度

${\displaystyle \rho =\frac{3M}{4\pi R^3}}$

より，この微小部分の質量は

${\displaystyle dm=\rho \cdot dV}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{4\pi R^3}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi }$

である．この微小部分の回転軸までの距離（回転半径）は ${\displaystyle r\sin \theta }$ なので，微小部分の回転軸周りの慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は

${\displaystyle dI={(r\sin \theta )}^{2}dm}$ ${\displaystyle =\frac{3M}{4\pi R^3}{r}^4{\sin }^3\theta drd\theta d\varphi }$

と表せる．したがって，求める慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は，

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^R{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{3M}{4\pi R^3}{r}^4{\sin }^3\theta drd\theta d\varphi }}}}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{3M}{4\pi R^3}{\displaystyle {\int }_0^R{r}^{4}dr}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\varphi }}$

となる．各々の積分は

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^R{r}^{4}dr}={\left[\frac{1}{5}{r}^5\right]}_0^R}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5}{R}^5}$
${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta }={\displaystyle {\int }_0^{\pi }(1-{\cos }^2\theta )\sin \theta d\theta }}$   （${\displaystyle u=\cos \theta }$ とおいて置換積分）
     ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-1}^1(1-u^2)du}}$ ${\displaystyle ={[u-\frac{1}{3}{u}^3]}_{-1}^1}$ ${\displaystyle =2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}$
${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\varphi }={\left[\varphi \right]}_0^{2\pi }=2\pi }$

なので，慣性モーメントは

${\displaystyle I=\frac{3M}{4\pi R^3}\cdot \frac{1}{5}{R}^5\cdot \frac{4}{3}\cdot 2\pi }$ ${\displaystyle =\frac{2}{5}M{R}^2}$

と求まる．

図に示すように，回転軸を ${\displaystyle z}$ 軸にとり，球内の位置 ${\displaystyle (x,y,z)}$ にある微小部分の質量を ${\displaystyle dm}$ とすると，この部分の回転半径は ${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}}$ であるので，求めたい慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_D(x^2+y^2)dm}}$

と表せる．球の対称性より，回転軸を ${\displaystyle x}$ 軸や ${\displaystyle y}$ 軸にとっても慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は変わらないので，

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_D(y^2+z^2)dm}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_D(z^2+x^2)dm}}$

が成り立つ．これら3つの式を足し合わせると

${\displaystyle 3I={\displaystyle {\int }_D(x^2+y^2)dm}+{\displaystyle {\int }_D(y^2+z^2)dm}+{\displaystyle {\int }_D(z^2+x^2)dm}}$
${\displaystyle \phantom{3I}={\displaystyle {\int }_{D}2(x^2+y^2+z^2)dm}}$

となる．上式右辺を極座標 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ を用いて表すと

${\displaystyle (x^2+y^2+z^2)=r^2}$
${\displaystyle dm=\frac{3M}{4\pi R^3}{r}^2\sin \theta drd\theta d\varphi }$

より

${\displaystyle I=\frac{2}{3}{\displaystyle {\int }_0^R{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{3M}{4\pi R^3}{r}^4\sin \theta drd\theta d\varphi }}}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{2\pi R^3}{\displaystyle {\int }_0^R{r}^{4}dr}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\varphi }}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M}{2\pi R^3}\cdot \frac{1}{5}{R}^5\cdot 2\cdot 2\pi }$ ${\displaystyle =\frac{2}{5}M{R}^2}$

と求まる．