力学的エネルギー保存則 1

小球は，投げ上げた点では運動エネルギー ${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2}$ と位置エネルギー ${\displaystyle mgh}$ をもっているため，力学的エネルギーはこれらの和である．
一方，最高点では速度の鉛直成分が ${\displaystyle 0}$ となる．今，小球の速度は鉛直成分のみであるから，最高点における小球の速さは ${\displaystyle 0}$ となる．よって，最高点での力学的エネルギーは位置エネルギー ${\displaystyle mg{h}^{\prime }}$ のみである．投げ上げた点での力学的エネルギーと最高点での力学的エネルギーが等しいという式を立てると

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh=mg{h}^{\prime }}$

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${\displaystyle \left(1\right)}$ で求めた式を ${\displaystyle h^{\prime }}$ について解くと

${\displaystyle h^{\prime }=\frac{1}{mg}\left(mgh+\frac{1}{2}m{v}_0^2\right)=h+\frac{v_0^2}{2g}\left[\text{m}\right]}$

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位置エネルギーの基準は地上であるので，最高点から落下して地上に達したときの位置エネルギーは ${\displaystyle 0}$ である．よって，地上に達したときの力学的エネルギーは運動エネルギー ${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2}$ のみである．投げ上げた点での力学的エネルギーと地上に達した点での力学的エネルギーが等しいという式を立てると

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh=\frac{1}{2}m{v}^2}$

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${\displaystyle \left(3\right)}$ で求めた式を ${\displaystyle v}$ について解くと，

${\displaystyle v^2=\frac{2}{m}\left(\frac{1}{2}m{v}_0^2+mgh\right)=v_0^2+2gh}$

${\displaystyle v=\sqrt{v_0^2+2gh}}$

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