${\displaystyle F-x}$ グラフと仕事 1

物体にはたらく ${\displaystyle x}$ 軸方向の力 ${\displaystyle F〔\text{N}〕}$ が物体の位置 ${\displaystyle x\left[\text{m}\right]}$ によって変化する場合，初期位置を ${\displaystyle x_{\text{i}}\left[\text{m}\right]}$ ，最終位置を ${\displaystyle x_{\text{f}}\left[\text{m}\right]}$ とすると，仕事は一般に

${\displaystyle W={\displaystyle {\int }_{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F(x)dx}}$

のように積分で表される．これは図2に示すように， ${\displaystyle F-x}$ グラフが ${\displaystyle x}$ 軸との間につくる面積に対応する（斜線部分）．

したがって，この問題の場合，小物体が位置 ${\displaystyle x=0\text{m}}$ から ${\displaystyle \text{2}\text{.0}\text{m}}$ までに移動したときの仕事は，図3の斜線部分の台形の面積で表され，

${\displaystyle \frac{3.0+5.0}{2}\cdot 2.0=8.0\text{J}}$

と求まる．

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${\displaystyle (1)}$ の解説で説明したように，小物体がした仕事は斜線部分の面積に対応する． ${\displaystyle (1)}$ の解答から，位置 ${\displaystyle x=0\text{m}}$ から ${\displaystyle 2.0\text{m}}$ までの仕事は

${\displaystyle W_1=8.0\text{J}}$

であり，位置 ${\displaystyle x=2.0\text{m}}$ から ${\displaystyle 3.0\text{m}}$ までの仕事

${\displaystyle W_2=\frac{1.0+3.0}{2}\cdot 1.0=2.0\text{J}}$ ，

位置 ${\displaystyle x=3.0\text{m}}$ から ${\displaystyle 4.0\text{m}}$ までの仕事

${\displaystyle W_3=1.0\cdot 1.0=1.0\text{J}}$ ，

位置 ${\displaystyle x=4.0\text{m}}$ から ${\displaystyle 6.0\text{m}}$ までの仕事

${\displaystyle W_4=\frac{1.0+5.0}{2}\cdot 2.0=6.0\text{J}}$

となる．したがって，すべて足し合わせると

${\displaystyle W_1+W_2+W_3+W_4=8.0+2.0+1.0+6.0=17\text{J}}$

と求まる．

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${\displaystyle (1)}$ の解説より，外力 ${\displaystyle F(x)}$ が位置 ${\displaystyle x_{\text{i}}}$ から ${\displaystyle x_{\text{f}}}$ までに物体にした仕事は， ${\displaystyle W={\displaystyle {\int }_{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F(x)dx}}$ で表された． 位置 ${\displaystyle x_{\text{i}}}$ での速さを ${\displaystyle v_{\text{i}}[\text{m}/\text{s}]}$ ，位置 ${\displaystyle x_{\text{f}}}$ での速さを ${\displaystyle v_{\text{f}}[\text{m}/\text{s}]}$ とすると，この仕事 ${\displaystyle W}$ と運動エネルギーの関係は

${\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}_{\text{f}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{i}}^2}$

である．上式右辺の第1項目は位置 ${\displaystyle x_{\text{f}}}$ での物体の運動エネルギー，第2項目は位置 ${\displaystyle x_{\text{f}}}$ での物体の運動エネルギーである．この式より，${\displaystyle (2)}$ で求めた仕事 ${\displaystyle \text{17}\text{J}}$ は，${\displaystyle x=0\text{m}}$ から，${\displaystyle 6.0\text{m}}$ に移動したときの運動エネルギーの増分に対応することが分かる．したがって，位置 ${\displaystyle x\text{=}6.0\text{m}}$ における小物体の運動エネルギーは

${\displaystyle 17\text{J}+3.0\text{J}=20\text{J}}$

と求まる．

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