面密度　${\displaystyle \rho 〔{\text{kg/m}}^{\text{2}}〕}$ が一定の剛体の重心

剛体の重心を求める際には，多くの質点が集まり剛体が形成されていると考えるとよい．

ここで，有限の質量${\displaystyle \Delta m_i=\rho \Delta s_i〔\text{kg}〕}$ (${\displaystyle \Delta s_i}$ は面積)${\displaystyle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)}$ が　${\displaystyle n}$　個集まり，剛体が形成されていると考える．

無限小の質量${\displaystyle dm=\rho ds}$ をもつ質点を無限個集めることで${\displaystyle \left(n\to \infty \right)}$ 、剛体全体を埋め尽くすことができる．

そこで， ${\displaystyle n}$ 質点系の重心(2次元)において， ${\displaystyle n\to \infty }$ の極限をとると，

${\displaystyle x_G=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\Delta m_1{x}_1+\Delta m_2{x}_2+\cdots +\Delta m_n{x}_n}{\Delta m_1+\Delta m_2+\cdots +\Delta m_n}}$
     ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\rho \Delta s_1{x}_1+\rho \Delta s_2{x}_2+\cdots +\rho \Delta s_n{x}_n}{\rho \Delta s_1+\rho \Delta s_2+\cdots +\rho \Delta s_n}}$
     ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1\Delta s_1+x_2\Delta s_2+\cdots +x_n\Delta s_n}{\Delta s_1+\Delta s_2+\cdots +\Delta s_n}}$
     ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\Delta s_{\mathrm{i}}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{s}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{s}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}}$

${\displaystyle \therefore x_G=\frac{1}{s}{\displaystyle \int xds〔\text{m}〕}}$

同様にして，

${\displaystyle \therefore x_G=\frac{1}{s}{\displaystyle \int yds〔\text{m}〕}}$