完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(y^2+2xy+1\right)dx}$${\displaystyle +\left(x^2+2xy+y\right)dy}$${\displaystyle =0}$

■答

${\displaystyle 2x{y}^2+2x^{2}y+2x+y^2=A}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の一般解は

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=c}$  ･･････(1)

ここで${\displaystyle a}$ と${\displaystyle b}$は定数であり， ${\displaystyle c}$は任意定数である．

■解き方

${\displaystyle P=y^2+2xy+1}$, ${\displaystyle Q=x^2+2xy+y}$とすると

${\displaystyle P_y=2y+2x}$, ${\displaystyle Q_x=2x+2y}$  ${\displaystyle \therefore P_y=Q_x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する．${\displaystyle a=0}$,${\displaystyle b=0}$として

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(y^2+2xy+1\right)dx}$${\displaystyle +\underset{0}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(0+0+y\right)dy}$${\displaystyle =c}$

${\displaystyle x{y}^2+x^{2}y+x+\frac{1}{2}{y}^2=c}$

${\displaystyle 2x{y}^2+2x^{2}y+2x+y^2=2c}$

${\displaystyle 2c=A}$とおくと

${\displaystyle 2x{y}^2+2x^{2}y+2x+y^2=A}$

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最終更新日： 2023年6月15日