完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(y{e}^x-y^2\sin x\right)dx}$${\displaystyle +\left(e^x+2y\cos x\right)dy}$${\displaystyle =0}$

■答

${\displaystyle y{e}^x+y^2\cos x=c}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の一般解は

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=c}$  ･･････(1)

ここで${\displaystyle a}$と ${\displaystyle b}$は定数であり， ${\displaystyle c}$は任意定数である．

■解き方

${\displaystyle P=y{e}^x-y^2\sin x}$, ${\displaystyle Q=e^x+2y\cos x}$とすると

${\displaystyle P_y=e^x-2y\sin x}$, ${\displaystyle Q_x=e^x-2y\sin x}$  ${\displaystyle \therefore P_y=Q_x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する．${\displaystyle a=0}$,${\displaystyle b=0}$として

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(y{e}^x-y^2\sin x\right)dx}$${\displaystyle +\underset{0}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(e^0+2y\cos 0\right)dy}$${\displaystyle =c}$

${\displaystyle {\left[y{e}^x+y^2\cos x\right]}_0^x+{\left[y+y^2\right]}_0^y=c}$

${\displaystyle y{e}^x+y^2\cos x-\left(y+y^2\right)+y+y^2-0}$${\displaystyle =c}$

${\displaystyle y{e}^x+y^2\cos x=c}$

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最終更新日： 2023年6月15日