完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(3x^{2}y+x\right)dx+\left(x^3+2y\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle y=0}$)

■答

${\displaystyle 2x^{3}y+x^2+2y^2-1=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の解で初期条件 ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle y=b}$を満たすものは

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=0}$  ･･････(1)

■解き方

初期条件より ${\displaystyle a=1,b=0}$として，公式(1)を利用すると

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^x\left(3x^{2}y+x\right)dx}+{\displaystyle {\int }_0^y\left(1+2y\right)dy}=0}$

${\displaystyle {\left[x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^x+{\left[y+y^2\right]}_0^y=0}$

${\displaystyle x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2-\left(y+\frac{1}{2}\right)+y+y^2=0}$

${\displaystyle x^{3}y+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}+y^2=0}$

両辺に2をかけると

${\displaystyle 2x^{3}y+x^2+2y^2-1=0}$

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最終更新日： 2023年6月16日